Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33954 / 23720
↖ ↑ ↗
← N 44.433780°
E  6.514893°		 ← 436.14 m → N 44.433780°
E  6.520386°		 →
↑
436.16 m
↓
↑
436.16 m
↓
N 44.429858°
E  6.514893°		 ← 436.17 m →
190 232 m²		 N 44.429858°
E  6.520386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518104553222656 y=0.361946105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518104553222656 × 216)
    floor (0.518104553222656 × 65536)
    floor (33954.5)     		tx = 33954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361946105957031 × 216)
    floor (0.361946105957031 × 65536)
    floor (23720.5)     		ty = 23720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33954 / 23720 ti = "16/33954/23720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33954/23720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33954 ÷ 216
    33954 ÷ 65536     		x = 0.518096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23720 ÷ 216
    23720 ÷ 65536     		y = 0.3619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518096923828125 × 2 - 1) × π
    0.03619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11370633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3619384765625 × 2 - 1) × π
    0.276123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.867466135524536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11370633} λ = 0.11370633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.867466135524536))-π/2
    2×atan(2.38087040098237)-π/2
    2×1.17315604209869-π/2
    2.34631208419738-1.57079632675     		φ = 0.77551576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11370633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.514893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77551576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.433780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33954 KachelY 23720 0.11370633 0.77551576 6.514893 44.433780
    Oben rechts KachelX + 1 33955 KachelY 23720 0.11380220 0.77551576 6.520386 44.433780
    Unten links KachelX 33954 KachelY + 1 23721 0.11370633 0.77544730 6.514893 44.429858
    Unten rechts KachelX + 1 33955 KachelY + 1 23721 0.11380220 0.77544730 6.520386 44.429858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77551576-0.77544730) × R
    6.84600000000479e-05 × 6371000     		dl = 436.158660000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77551576-0.77544730) × R
    6.84600000000479e-05 × 6371000     		dr = 436.158660000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11370633-0.11380220) × cos(0.77551576) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.714060053487922 × 6371000     		do = 436.139147716022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11370633-0.11380220) × cos(0.77544730) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.714107979596155 × 6371000     		du = 436.168420396794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77551576)-sin(0.77544730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714060053487922-0.714107979596155)×R²
    abs(0.11380220-0.11370633)×4.79261082323434e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.79261082323434e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.79261082323434e-05×40589641000000     		ar = 190232.250082238m²