Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33953 / 36191
↖ ↑ ↗
← S 18.474399°
E  6.509399°		 ← 579.37 m → S 18.474399°
E  6.514893°		 →
↑
579.32 m
↓
↑
579.32 m
↓
S 18.479609°
E  6.509399°		 ← 579.35 m →
335 633 m²		 S 18.479609°
E  6.514893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518089294433594 y=0.552238464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518089294433594 × 216)
    floor (0.518089294433594 × 65536)
    floor (33953.5)     		tx = 33953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552238464355469 × 216)
    floor (0.552238464355469 × 65536)
    floor (36191.5)     		ty = 36191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33953 / 36191 ti = "16/33953/36191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33953/36191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33953 ÷ 216
    33953 ÷ 65536     		x = 0.518081665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36191 ÷ 216
    36191 ÷ 65536     		y = 0.552230834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518081665039062 × 2 - 1) × π
    0.036163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11361045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552230834960938 × 2 - 1) × π
    -0.104461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.328176014798904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11361045} λ = 0.11361045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328176014798904))-π/2
    2×atan(0.720236236311454)-π/2
    2×0.624178617946119-π/2
    1.24835723589224-1.57079632675     		φ = -0.32243909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11361045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.509399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32243909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.474399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33953 KachelY 36191 0.11361045 -0.32243909 6.509399 -18.474399
    Oben rechts KachelX + 1 33954 KachelY 36191 0.11370633 -0.32243909 6.514893 -18.474399
    Unten links KachelX 33953 KachelY + 1 36192 0.11361045 -0.32253002 6.509399 -18.479609
    Unten rechts KachelX + 1 33954 KachelY + 1 36192 0.11370633 -0.32253002 6.514893 -18.479609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32243909--0.32253002) × R
    9.09299999999891e-05 × 6371000     		dl = 579.31502999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32243909--0.32253002) × R
    9.09299999999891e-05 × 6371000     		dr = 579.31502999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11361045-0.11370633) × cos(-0.32243909) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.948465339115559 × 6371000     		do = 579.371456127397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11361045-0.11370633) × cos(-0.32253002) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.948436521214896 × 6371000     		du = 579.353852670126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32243909)-sin(-0.32253002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948465339115559-0.948436521214896)×R²
    abs(0.11370633-0.11361045)×2.8817900663336e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.8817900663336e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.8817900663336e-05×40589641000000     		ar = 335633.493745104m²