Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33953 / 34199
↖ ↑ ↗
← S  7.836174°
E  6.509399°		 ← 605.15 m → S  7.836174°
E  6.514893°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
S  7.841615°
E  6.509399°		 ← 605.14 m →
366 144 m²		 S  7.841615°
E  6.514893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518089294433594 y=0.521842956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518089294433594 × 216)
    floor (0.518089294433594 × 65536)
    floor (33953.5)     		tx = 33953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521842956542969 × 216)
    floor (0.521842956542969 × 65536)
    floor (34199.5)     		ty = 34199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33953 / 34199 ti = "16/33953/34199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33953/34199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33953 ÷ 216
    33953 ÷ 65536     		x = 0.518081665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34199 ÷ 216
    34199 ÷ 65536     		y = 0.521835327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518081665039062 × 2 - 1) × π
    0.036163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11361045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521835327148438 × 2 - 1) × π
    -0.043670654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137195406712601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11361045} λ = 0.11361045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137195406712601))-π/2
    2×atan(0.871799853943212)-π/2
    2×0.717014650523764-π/2
    1.43402930104753-1.57079632675     		φ = -0.13676703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11361045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.509399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13676703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.836174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33953 KachelY 34199 0.11361045 -0.13676703 6.509399 -7.836174
    Oben rechts KachelX + 1 33954 KachelY 34199 0.11370633 -0.13676703 6.514893 -7.836174
    Unten links KachelX 33953 KachelY + 1 34200 0.11361045 -0.13686200 6.509399 -7.841615
    Unten rechts KachelX + 1 33954 KachelY + 1 34200 0.11370633 -0.13686200 6.514893 -7.841615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13676703--0.13686200) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13676703--0.13686200) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11361045-0.11370633) × cos(-0.13676703) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990661959218764 × 6371000     		do = 605.147323968435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11361045-0.11370633) × cos(-0.13686200) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990649006441502 × 6371000     		du = 605.139411745275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13676703)-sin(-0.13686200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990661959218764-0.990649006441502)×R²
    abs(0.11370633-0.11361045)×1.29527772616544e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.29527772616544e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.29527772616544e-05×40589641000000     		ar = 366144.336901872m²