Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33953 / 21665
↖ ↑ ↗
← N 76.079007°
W 86.745300°		 ← 73.48 m → N 76.079007°
W 86.742553°		 →
↑
73.46 m
↓
↑
73.46 m
↓
N 76.078346°
W 86.745300°		 ← 73.48 m →
5 398 m²		 N 76.078346°
W 86.742553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259044647216797 y=0.165294647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259044647216797 × 217)
    floor (0.259044647216797 × 131072)
    floor (33953.5)     		tx = 33953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165294647216797 × 217)
    floor (0.165294647216797 × 131072)
    floor (21665.5)     		ty = 21665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33953 / 21665 ti = "17/33953/21665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33953/21665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33953 ÷ 217
    33953 ÷ 131072     		x = 0.259040832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21665 ÷ 217
    21665 ÷ 131072     		y = 0.165290832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259040832519531 × 2 - 1) × π
    -0.481918334960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.51399110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165290832519531 × 2 - 1) × π
    0.669418334960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.10303972323148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51399110} λ = -1.51399110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10303972323148))-π/2
    2×atan(8.19103057458653)-π/2
    2×1.44931274499513-π/2
    2.89862548999025-1.57079632675     		φ = 1.32782916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51399110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.745300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32782916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.079007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33953 KachelY 21665 -1.51399110 1.32782916 -86.745300 76.079007
    Oben rechts KachelX + 1 33954 KachelY 21665 -1.51394316 1.32782916 -86.742553 76.079007
    Unten links KachelX 33953 KachelY + 1 21666 -1.51399110 1.32781763 -86.745300 76.078346
    Unten rechts KachelX + 1 33954 KachelY + 1 21666 -1.51394316 1.32781763 -86.742553 76.078346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32782916-1.32781763) × R
    1.15300000000929e-05 × 6371000     		dl = 73.4576300005916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32782916-1.32781763) × R
    1.15300000000929e-05 × 6371000     		dr = 73.4576300005916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51399110--1.51394316) × cos(1.32782916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24058369760811 × 6371000     		do = 73.4804538738451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51399110--1.51394316) × cos(1.32781763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240594888937532 × 6371000     		du = 73.4838719939154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32782916)-sin(1.32781763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24058369760811-0.240594888937532)×R²
    abs(-1.51394316--1.51399110)×1.11913294218724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11913294218724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11913294218724e-05×40589641000000     		ar = 5397.82553653785m²