Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33951 / 36206
↖ ↑ ↗
← S 18.552532°
E  6.498413°		 ← 579.11 m → S 18.552532°
E  6.503906°		 →
↑
579.06 m
↓
↑
579.06 m
↓
S 18.557740°
E  6.498413°		 ← 579.09 m →
335 333 m²		 S 18.557740°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518058776855469 y=0.552467346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518058776855469 × 216)
    floor (0.518058776855469 × 65536)
    floor (33951.5)     		tx = 33951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552467346191406 × 216)
    floor (0.552467346191406 × 65536)
    floor (36206.5)     		ty = 36206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33951 / 36206 ti = "16/33951/36206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33951/36206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33951 ÷ 216
    33951 ÷ 65536     		x = 0.518051147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36206 ÷ 216
    36206 ÷ 65536     		y = 0.552459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518051147460938 × 2 - 1) × π
    0.036102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11341870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.10491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.329614121787506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11341870} λ = 0.11341870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329614121787506))-π/2
    2×atan(0.719201203968577)-π/2
    2×0.623496776213793-π/2
    1.24699355242759-1.57079632675     		φ = -0.32380277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11341870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.498413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32380277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.552532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33951 KachelY 36206 0.11341870 -0.32380277 6.498413 -18.552532
    Oben rechts KachelX + 1 33952 KachelY 36206 0.11351458 -0.32380277 6.503906 -18.552532
    Unten links KachelX 33951 KachelY + 1 36207 0.11341870 -0.32389366 6.498413 -18.557740
    Unten rechts KachelX + 1 33952 KachelY + 1 36207 0.11351458 -0.32389366 6.503906 -18.557740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32380277--0.32389366) × R
    9.08900000000101e-05 × 6371000     		dl = 579.060190000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32380277--0.32389366) × R
    9.08900000000101e-05 × 6371000     		dr = 579.060190000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11341870-0.11351458) × cos(-0.32380277) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.948032333219095 × 6371000     		do = 579.106953834777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11341870-0.11351458) × cos(-0.32389366) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.948003410468303 × 6371000     		du = 579.08928632965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32380277)-sin(-0.32389366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948032333219095-0.948003410468303)×R²
    abs(0.11351458-0.11341870)×2.89227507918044e-05×R²
    9.58800000000065e-05×2.89227507918044e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.89227507918044e-05×40589641000000     		ar = 335332.667674242m²