Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33951 / 23723
↖ ↑ ↗
← N 44.422011°
E  6.498413°		 ← 436.27 m → N 44.422011°
E  6.503906°		 →
↑
436.29 m
↓
↑
436.29 m
↓
N 44.418088°
E  6.498413°		 ← 436.30 m →
190 346 m²		 N 44.418088°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518058776855469 y=0.361991882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518058776855469 × 216)
    floor (0.518058776855469 × 65536)
    floor (33951.5)     		tx = 33951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361991882324219 × 216)
    floor (0.361991882324219 × 65536)
    floor (23723.5)     		ty = 23723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33951 / 23723 ti = "16/33951/23723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33951/23723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33951 ÷ 216
    33951 ÷ 65536     		x = 0.518051147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23723 ÷ 216
    23723 ÷ 65536     		y = 0.361984252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518051147460938 × 2 - 1) × π
    0.036102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11341870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361984252929688 × 2 - 1) × π
    0.276031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.867178514126816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11341870} λ = 0.11341870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.867178514126816))-π/2
    2×atan(2.38018571018043)-π/2
    2×1.1730533422844-π/2
    2.3461066845688-1.57079632675     		φ = 0.77531036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11341870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.498413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77531036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.422011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33951 KachelY 23723 0.11341870 0.77531036 6.498413 44.422011
    Oben rechts KachelX + 1 33952 KachelY 23723 0.11351458 0.77531036 6.503906 44.422011
    Unten links KachelX 33951 KachelY + 1 23724 0.11341870 0.77524188 6.498413 44.418088
    Unten rechts KachelX + 1 33952 KachelY + 1 23724 0.11351458 0.77524188 6.503906 44.418088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77531036-0.77524188) × R
    6.84799999999264e-05 × 6371000     		dl = 436.286079999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77531036-0.77524188) × R
    6.84799999999264e-05 × 6371000     		dr = 436.286079999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11341870-0.11351458) × cos(0.77531036) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.714203835770567 × 6371000     		do = 436.272470102157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11341870-0.11351458) × cos(0.77524188) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.714251765834342 × 6371000     		du = 436.301748252551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77531036)-sin(0.77524188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714203835770567-0.714251765834342)×R²
    abs(0.11351458-0.11341870)×4.79300637747926e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79300637747926e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79300637747926e-05×40589641000000     		ar = 190345.992691721m²