Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33951 / 21659
↖ ↑ ↗
← N 76.082971°
W 86.750793°		 ← 73.44 m → N 76.082971°
W 86.748047°		 →
↑
73.46 m
↓
↑
73.46 m
↓
N 76.082310°
W 86.750793°		 ← 73.45 m →
5 395 m²		 N 76.082310°
W 86.748047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259029388427734 y=0.165248870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259029388427734 × 217)
    floor (0.259029388427734 × 131072)
    floor (33951.5)     		tx = 33951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165248870849609 × 217)
    floor (0.165248870849609 × 131072)
    floor (21659.5)     		ty = 21659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33951 / 21659 ti = "17/33951/21659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33951/21659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33951 ÷ 217
    33951 ÷ 131072     		x = 0.259025573730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21659 ÷ 217
    21659 ÷ 131072     		y = 0.165245056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259025573730469 × 2 - 1) × π
    -0.481948852539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.51408697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165245056152344 × 2 - 1) × π
    0.669509887695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.1033273446292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51408697} λ = -1.51408697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1033273446292))-π/2
    2×atan(8.19338682908753)-π/2
    2×1.4493473386753-π/2
    2.89869467735059-1.57079632675     		φ = 1.32789835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51408697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.750793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32789835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.082971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33951 KachelY 21659 -1.51408697 1.32789835 -86.750793 76.082971
    Oben rechts KachelX + 1 33952 KachelY 21659 -1.51403904 1.32789835 -86.748047 76.082971
    Unten links KachelX 33951 KachelY + 1 21660 -1.51408697 1.32788682 -86.750793 76.082310
    Unten rechts KachelX + 1 33952 KachelY + 1 21660 -1.51403904 1.32788682 -86.748047 76.082310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32789835-1.32788682) × R
    1.15299999998708e-05 × 6371000     		dl = 73.4576299991769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32789835-1.32788682) × R
    1.15299999998708e-05 × 6371000     		dr = 73.4576299991769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51408697--1.51403904) × cos(1.32789835) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.24051653925353 × 6371000     		do = 73.4446186750775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51408697--1.51403904) × cos(1.32788682) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.240527730774857 × 6371000     		du = 73.4480361407488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32789835)-sin(1.32788682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24051653925353-0.240527730774857)×R²
    abs(-1.51403904--1.51408697)×1.11915213275582e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11915213275582e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11915213275582e-05×40589641000000     		ar = 5395.19314354272m²