Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33949 / 23690
↖ ↑ ↗
← N 44.551335°
E  6.487427°		 ← 435.26 m → N 44.551335°
E  6.492920°		 →
↑
435.27 m
↓
↑
435.27 m
↓
N 44.547420°
E  6.487427°		 ← 435.29 m →
189 461 m²		 N 44.547420°
E  6.492920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518028259277344 y=0.361488342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518028259277344 × 216)
    floor (0.518028259277344 × 65536)
    floor (33949.5)     		tx = 33949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361488342285156 × 216)
    floor (0.361488342285156 × 65536)
    floor (23690.5)     		ty = 23690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33949 / 23690 ti = "16/33949/23690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33949/23690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33949 ÷ 216
    33949 ÷ 65536     		x = 0.518020629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23690 ÷ 216
    23690 ÷ 65536     		y = 0.361480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518020629882812 × 2 - 1) × π
    0.036041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11322696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361480712890625 × 2 - 1) × π
    0.27703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.870342349501739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11322696} λ = 0.11322696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.870342349501739))-π/2
    2×atan(2.38772815115841)-π/2
    2×1.17418190295411-π/2
    2.34836380590822-1.57079632675     		φ = 0.77756748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11322696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.487427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77756748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.551335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33949 KachelY 23690 0.11322696 0.77756748 6.487427 44.551335
    Oben rechts KachelX + 1 33950 KachelY 23690 0.11332283 0.77756748 6.492920 44.551335
    Unten links KachelX 33949 KachelY + 1 23691 0.11322696 0.77749916 6.487427 44.547420
    Unten rechts KachelX + 1 33950 KachelY + 1 23691 0.11332283 0.77749916 6.492920 44.547420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77756748-0.77749916) × R
    6.83200000000106e-05 × 6371000     		dl = 435.266720000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77756748-0.77749916) × R
    6.83200000000106e-05 × 6371000     		dr = 435.266720000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11322696-0.11332283) × cos(0.77756748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712622174286706 × 6371000     		do = 435.260908685119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11322696-0.11332283) × cos(0.77749916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712670102384871 × 6371000     		du = 435.290182581317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77756748)-sin(0.77749916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712622174286706-0.712670102384871)×R²
    abs(0.11332283-0.11322696)×4.79280981648955e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79280981648955e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79280981648955e-05×40589641000000     		ar = 189460.959117951m²