Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33948 / 23643
↖ ↑ ↗
← N 44.735028°
E  6.481933°		 ← 433.93 m → N 44.735028°
E  6.487427°		 →
↑
433.93 m
↓
↑
433.93 m
↓
N 44.731126°
E  6.481933°		 ← 433.96 m →
188 301 m²		 N 44.731126°
E  6.487427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518013000488281 y=0.360771179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518013000488281 × 216)
    floor (0.518013000488281 × 65536)
    floor (33948.5)     		tx = 33948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360771179199219 × 216)
    floor (0.360771179199219 × 65536)
    floor (23643.5)     		ty = 23643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33948 / 23643 ti = "16/33948/23643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33948/23643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33948 ÷ 216
    33948 ÷ 65536     		x = 0.51800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23643 ÷ 216
    23643 ÷ 65536     		y = 0.360763549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51800537109375 × 2 - 1) × π
    0.0360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11313108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360763549804688 × 2 - 1) × π
    0.278472900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.874848418066025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11313108} λ = 0.11313108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874848418066025))-π/2
    2×atan(2.39851169536886)-π/2
    2×1.1757849272976-π/2
    2.3515698545952-1.57079632675     		φ = 0.78077353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11313108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.481933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78077353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.735028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33948 KachelY 23643 0.11313108 0.78077353 6.481933 44.735028
    Oben rechts KachelX + 1 33949 KachelY 23643 0.11322696 0.78077353 6.487427 44.735028
    Unten links KachelX 33948 KachelY + 1 23644 0.11313108 0.78070542 6.481933 44.731126
    Unten rechts KachelX + 1 33949 KachelY + 1 23644 0.11322696 0.78070542 6.487427 44.731126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78077353-0.78070542) × R
    6.81100000000656e-05 × 6371000     		dl = 433.928810000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78077353-0.78070542) × R
    6.81100000000656e-05 × 6371000     		dr = 433.928810000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11313108-0.11322696) × cos(0.78077353) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.710369317650323 × 6371000     		do = 433.93014903332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11313108-0.11322696) × cos(0.78070542) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.710417253804073 × 6371000     		du = 433.959430903783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78077353)-sin(0.78070542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710369317650323-0.710417253804073)×R²
    abs(0.11322696-0.11313108)×4.79361537496503e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79361537496503e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79361537496503e-05×40589641000000     		ar = 188301.146389852m²