Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33948 / 23630
↖ ↑ ↗
← N 44.785734°
E  6.481933°		 ← 433.55 m → N 44.785734°
E  6.487427°		 →
↑
433.48 m
↓
↑
433.48 m
↓
N 44.781835°
E  6.481933°		 ← 433.58 m →
187 943 m²		 N 44.781835°
E  6.487427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518013000488281 y=0.360572814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518013000488281 × 216)
    floor (0.518013000488281 × 65536)
    floor (33948.5)     		tx = 33948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360572814941406 × 216)
    floor (0.360572814941406 × 65536)
    floor (23630.5)     		ty = 23630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33948 / 23630 ti = "16/33948/23630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33948/23630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33948 ÷ 216
    33948 ÷ 65536     		x = 0.51800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23630 ÷ 216
    23630 ÷ 65536     		y = 0.360565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51800537109375 × 2 - 1) × π
    0.0360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11313108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360565185546875 × 2 - 1) × π
    0.27886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.876094777456146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11313108} λ = 0.11313108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876094777456146))-π/2
    2×atan(2.401502966655)-π/2
    2×1.17622742086415-π/2
    2.3524548417283-1.57079632675     		φ = 0.78165851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11313108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.481933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78165851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.785734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33948 KachelY 23630 0.11313108 0.78165851 6.481933 44.785734
    Oben rechts KachelX + 1 33949 KachelY 23630 0.11322696 0.78165851 6.487427 44.785734
    Unten links KachelX 33948 KachelY + 1 23631 0.11313108 0.78159047 6.481933 44.781835
    Unten rechts KachelX + 1 33949 KachelY + 1 23631 0.11322696 0.78159047 6.487427 44.781835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78165851-0.78159047) × R
    6.80399999999359e-05 × 6371000     		dl = 433.482839999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78165851-0.78159047) × R
    6.80399999999359e-05 × 6371000     		dr = 433.482839999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11313108-0.11322696) × cos(0.78165851) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.709746164858601 × 6371000     		do = 433.54949522823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11313108-0.11322696) × cos(0.78159047) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.709794094504587 × 6371000     		du = 433.578773123416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78165851)-sin(0.78159047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709746164858601-0.709794094504587)×R²
    abs(0.11322696-0.11313108)×4.79296459861001e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79296459861001e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79296459861001e-05×40589641000000     		ar = 187942.61227705m²