Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33946 / 23646
↖ ↑ ↗
← N 44.723320°
E  6.470948°		 ← 433.97 m → N 44.723320°
E  6.476440°		 →
↑
433.99 m
↓
↑
433.99 m
↓
N 44.719417°
E  6.470948°		 ← 434 m →
188 347 m²		 N 44.719417°
E  6.476440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517982482910156 y=0.360816955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517982482910156 × 216)
    floor (0.517982482910156 × 65536)
    floor (33946.5)     		tx = 33946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360816955566406 × 216)
    floor (0.360816955566406 × 65536)
    floor (23646.5)     		ty = 23646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33946 / 23646 ti = "16/33946/23646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33946/23646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33946 ÷ 216
    33946 ÷ 65536     		x = 0.517974853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23646 ÷ 216
    23646 ÷ 65536     		y = 0.360809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517974853515625 × 2 - 1) × π
    0.03594970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11293934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360809326171875 × 2 - 1) × π
    0.27838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.874560796668304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11293934} λ = 0.11293934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874560796668304))-π/2
    2×atan(2.3978219312828)-π/2
    2×1.17568275824905-π/2
    2.35136551649811-1.57079632675     		φ = 0.78056919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11293934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.470948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78056919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.723320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33946 KachelY 23646 0.11293934 0.78056919 6.470948 44.723320
    Oben rechts KachelX + 1 33947 KachelY 23646 0.11303521 0.78056919 6.476440 44.723320
    Unten links KachelX 33946 KachelY + 1 23647 0.11293934 0.78050107 6.470948 44.719417
    Unten rechts KachelX + 1 33947 KachelY + 1 23647 0.11303521 0.78050107 6.476440 44.719417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78056919-0.78050107) × R
    6.81200000000048e-05 × 6371000     		dl = 433.992520000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78056919-0.78050107) × R
    6.81200000000048e-05 × 6371000     		dr = 433.992520000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11293934-0.11303521) × cos(0.78056919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710513123261372 × 6371000     		do = 433.972726112539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11293934-0.11303521) × cos(0.78050107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710561056563508 × 6371000     		du = 434.00200318726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78056919)-sin(0.78050107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710513123261372-0.710561056563508)×R²
    abs(0.11303521-0.11293934)×4.79333021367045e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79333021367045e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79333021367045e-05×40589641000000     		ar = 188347.270105184m²