Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33944 / 23724
↖ ↑ ↗
← N 44.418088°
E  6.459961°		 ← 436.26 m → N 44.418088°
E  6.465454°		 →
↑
436.29 m
↓
↑
436.29 m
↓
N 44.414164°
E  6.459961°		 ← 436.29 m →
190 339 m²		 N 44.414164°
E  6.465454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517951965332031 y=0.362007141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517951965332031 × 216)
    floor (0.517951965332031 × 65536)
    floor (33944.5)     		tx = 33944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362007141113281 × 216)
    floor (0.362007141113281 × 65536)
    floor (23724.5)     		ty = 23724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33944 / 23724 ti = "16/33944/23724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33944/23724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33944 ÷ 216
    33944 ÷ 65536     		x = 0.5179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23724 ÷ 216
    23724 ÷ 65536     		y = 0.36199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5179443359375 × 2 - 1) × π
    0.035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11274759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36199951171875 × 2 - 1) × π
    0.2760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.867082640327576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11274759} λ = 0.11274759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.867082640327576))-π/2
    2×atan(2.37995752367222)-π/2
    2×1.173019104418-π/2
    2.346038208836-1.57079632675     		φ = 0.77524188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11274759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77524188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.418088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33944 KachelY 23724 0.11274759 0.77524188 6.459961 44.418088
    Oben rechts KachelX + 1 33945 KachelY 23724 0.11284346 0.77524188 6.465454 44.418088
    Unten links KachelX 33944 KachelY + 1 23725 0.11274759 0.77517340 6.459961 44.414164
    Unten rechts KachelX + 1 33945 KachelY + 1 23725 0.11284346 0.77517340 6.465454 44.414164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77524188-0.77517340) × R
    6.84800000000374e-05 × 6371000     		dl = 436.286080000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77524188-0.77517340) × R
    6.84800000000374e-05 × 6371000     		dr = 436.286080000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11274759-0.11284346) × cos(0.77524188) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.714251765834342 × 6371000     		do = 436.256243272573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11274759-0.11284346) × cos(0.77517340) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.714299692548626 × 6371000     		du = 436.285516323514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77524188)-sin(0.77517340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714251765834342-0.714299692548626)×R²
    abs(0.11284346-0.11274759)×4.79267142838857e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.79267142838857e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.79267142838857e-05×40589641000000     		ar = 190338.912040012m²