Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33942 / 23736
↖ ↑ ↗
← N 44.370987°
E  6.448975°		 ← 436.61 m → N 44.370987°
E  6.454468°		 →
↑
436.60 m
↓
↑
436.60 m
↓
N 44.367060°
E  6.448975°		 ← 436.64 m →
190 631 m²		 N 44.367060°
E  6.454468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517921447753906 y=0.362190246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517921447753906 × 216)
    floor (0.517921447753906 × 65536)
    floor (33942.5)     		tx = 33942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362190246582031 × 216)
    floor (0.362190246582031 × 65536)
    floor (23736.5)     		ty = 23736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33942 / 23736 ti = "16/33942/23736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33942/23736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33942 ÷ 216
    33942 ÷ 65536     		x = 0.517913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23736 ÷ 216
    23736 ÷ 65536     		y = 0.3621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517913818359375 × 2 - 1) × π
    0.03582763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11255584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3621826171875 × 2 - 1) × π
    0.275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.865932154736694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11255584} λ = 0.11255584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865932154736694))-π/2
    2×atan(2.3772209913067)-π/2
    2×1.17260807082027-π/2
    2.34521614164054-1.57079632675     		φ = 0.77441981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11255584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.448975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77441981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.370987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33942 KachelY 23736 0.11255584 0.77441981 6.448975 44.370987
    Oben rechts KachelX + 1 33943 KachelY 23736 0.11265171 0.77441981 6.454468 44.370987
    Unten links KachelX 33942 KachelY + 1 23737 0.11255584 0.77435128 6.448975 44.367060
    Unten rechts KachelX + 1 33943 KachelY + 1 23737 0.11265171 0.77435128 6.454468 44.367060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77441981-0.77435128) × R
    6.85300000000666e-05 × 6371000     		dl = 436.604630000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77441981-0.77435128) × R
    6.85300000000666e-05 × 6371000     		dr = 436.604630000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11255584-0.11265171) × cos(0.77441981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714826882058554 × 6371000     		do = 436.607517228588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11255584-0.11265171) × cos(0.77435128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714874803508867 × 6371000     		du = 436.63678706436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77441981)-sin(0.77435128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714826882058554-0.714874803508867)×R²
    abs(0.11265171-0.11255584)×4.7921450313515e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7921450313515e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7921450313515e-05×40589641000000     		ar = 190631.253262515m²