Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33941 / 34197
↖ ↑ ↗
← S  7.825290°
E  6.443482°		 ← 605.10 m → S  7.825290°
E  6.448975°		 →
↑
605.12 m
↓
↑
605.12 m
↓
S  7.830732°
E  6.443482°		 ← 605.09 m →
366 154 m²		 S  7.830732°
E  6.448975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517906188964844 y=0.521812438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517906188964844 × 216)
    floor (0.517906188964844 × 65536)
    floor (33941.5)     		tx = 33941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521812438964844 × 216)
    floor (0.521812438964844 × 65536)
    floor (34197.5)     		ty = 34197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33941 / 34197 ti = "16/33941/34197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33941/34197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33941 ÷ 216
    33941 ÷ 65536     		x = 0.517898559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34197 ÷ 216
    34197 ÷ 65536     		y = 0.521804809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517898559570312 × 2 - 1) × π
    0.035797119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11245997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521804809570312 × 2 - 1) × π
    -0.043609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.13700365911412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11245997} λ = 0.11245997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.13700365911412))-π/2
    2×atan(0.87196703549938)-π/2
    2×0.717109630290567-π/2
    1.43421926058113-1.57079632675     		φ = -0.13657707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11245997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.443482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13657707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.825290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33941 KachelY 34197 0.11245997 -0.13657707 6.443482 -7.825290
    Oben rechts KachelX + 1 33942 KachelY 34197 0.11255584 -0.13657707 6.448975 -7.825290
    Unten links KachelX 33941 KachelY + 1 34198 0.11245997 -0.13667205 6.443482 -7.830732
    Unten rechts KachelX + 1 33942 KachelY + 1 34198 0.11255584 -0.13667205 6.448975 -7.830732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13657707--0.13667205) × R
    9.49799999999945e-05 × 6371000     		dl = 605.117579999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13657707--0.13667205) × R
    9.49799999999945e-05 × 6371000     		dr = 605.117579999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11245997-0.11255584) × cos(-0.13657707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990687840690993 × 6371000     		do = 605.100016981754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11245997-0.11255584) × cos(-0.13667205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990674904423417 × 6371000     		du = 605.092115667729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13657707)-sin(-0.13667205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990687840690993-0.990674904423417)×R²
    abs(0.11255584-0.11245997)×1.29362675762579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.29362675762579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.29362675762579e-05×40589641000000     		ar = 366154.267597156m²