Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33940 / 34164
↖ ↑ ↗
← S  7.645665°
E  6.437988°		 ← 605.42 m → S  7.645665°
E  6.443482°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
S  7.651109°
E  6.437988°		 ← 605.41 m →
366 503 m²		 S  7.651109°
E  6.443482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517890930175781 y=0.521308898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517890930175781 × 216)
    floor (0.517890930175781 × 65536)
    floor (33940.5)     		tx = 33940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521308898925781 × 216)
    floor (0.521308898925781 × 65536)
    floor (34164.5)     		ty = 34164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33940 / 34164 ti = "16/33940/34164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33940/34164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33940 ÷ 216
    33940 ÷ 65536     		x = 0.51788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34164 ÷ 216
    34164 ÷ 65536     		y = 0.52130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51788330078125 × 2 - 1) × π
    0.0357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11236409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.133839823739197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11236409} λ = 0.11236409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133839823739197))-π/2
    2×atan(0.874730164389648)-π/2
    2×0.718677151935094-π/2
    1.43735430387019-1.57079632675     		φ = -0.13344202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11236409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.437988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13344202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.645665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33940 KachelY 34164 0.11236409 -0.13344202 6.437988 -7.645665
    Oben rechts KachelX + 1 33941 KachelY 34164 0.11245997 -0.13344202 6.443482 -7.645665
    Unten links KachelX 33940 KachelY + 1 34165 0.11236409 -0.13353704 6.437988 -7.651109
    Unten rechts KachelX + 1 33941 KachelY + 1 34165 0.11245997 -0.13353704 6.443482 -7.651109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13344202--0.13353704) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dl = 605.372420000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13344202--0.13353704) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dr = 605.372420000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11236409-0.11245997) × cos(-0.13344202) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.991109817524472 × 6371000     		do = 605.420898877395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11236409-0.11245997) × cos(-0.13353704) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.991097170986633 × 6371000     		du = 605.413173721039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13344202)-sin(-0.13353704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991109817524472-0.991097170986633)×R²
    abs(0.11245997-0.11236409)×1.26465378381679e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.26465378381679e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.26465378381679e-05×40589641000000     		ar = 366502.776649376m²