Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33940 / 23730
↖ ↑ ↗
← N 44.394542°
E  6.437988°		 ← 436.48 m → N 44.394542°
E  6.443482°		 →
↑
436.48 m
↓
↑
436.48 m
↓
N 44.390617°
E  6.437988°		 ← 436.51 m →
190 519 m²		 N 44.390617°
E  6.443482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517890930175781 y=0.362098693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517890930175781 × 216)
    floor (0.517890930175781 × 65536)
    floor (33940.5)     		tx = 33940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362098693847656 × 216)
    floor (0.362098693847656 × 65536)
    floor (23730.5)     		ty = 23730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33940 / 23730 ti = "16/33940/23730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33940/23730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33940 ÷ 216
    33940 ÷ 65536     		x = 0.51788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23730 ÷ 216
    23730 ÷ 65536     		y = 0.362091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51788330078125 × 2 - 1) × π
    0.0357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11236409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362091064453125 × 2 - 1) × π
    0.27581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.866507397532135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11236409} λ = 0.11236409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.866507397532135))-π/2
    2×atan(2.37858886394684)-π/2
    2×1.17281362897293-π/2
    2.34562725794586-1.57079632675     		φ = 0.77483093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11236409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.437988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77483093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.394542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33940 KachelY 23730 0.11236409 0.77483093 6.437988 44.394542
    Oben rechts KachelX + 1 33941 KachelY 23730 0.11245997 0.77483093 6.443482 44.394542
    Unten links KachelX 33940 KachelY + 1 23731 0.11236409 0.77476242 6.437988 44.390617
    Unten rechts KachelX + 1 33941 KachelY + 1 23731 0.11245997 0.77476242 6.443482 44.390617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77483093-0.77476242) × R
    6.85100000000771e-05 × 6371000     		dl = 436.477210000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77483093-0.77476242) × R
    6.85100000000771e-05 × 6371000     		dr = 436.477210000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11236409-0.11245997) × cos(0.77483093) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.714539324841484 × 6371000     		do = 436.477404097651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11236409-0.11245997) × cos(0.77476242) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.714587252437066 × 6371000     		du = 436.506680740345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77483093)-sin(0.77476242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714539324841484-0.714587252437066)×R²
    abs(0.11245997-0.11236409)×4.79275955828085e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79275955828085e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79275955828085e-05×40589641000000     		ar = 190518.828937145m²