Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3394 / 1082
↖ ↑ ↗
← N 82.512024°
W105.424805°		 ← 318.40 m → N 82.512024°
W105.402832°		 →
↑
318.49 m
↓
↑
318.49 m
↓
N 82.509160°
W105.424805°		 ← 318.52 m →
101 426 m²		 N 82.509160°
W105.402832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.207183837890625 y=0.066070556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.207183837890625 × 214)
    floor (0.207183837890625 × 16384)
    floor (3394.5)     		tx = 3394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.066070556640625 × 214)
    floor (0.066070556640625 × 16384)
    floor (1082.5)     		ty = 1082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3394 / 1082 ti = "14/3394/1082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3394/1082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3394 ÷ 214
    3394 ÷ 16384     		x = 0.2071533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1082 ÷ 214
    1082 ÷ 16384     		y = 0.0660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.84000996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0660400390625 × 2 - 1) × π
    0.867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72665085038879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84000996} λ = -1.84000996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72665085038879))-π/2
    2×atan(15.2816207843725)-π/2
    2×1.5054514076093-π/2
    3.01090281521861-1.57079632675     		φ = 1.44010649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84000996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.424805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44010649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.512024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3394 KachelY 1082 -1.84000996 1.44010649 -105.424805 82.512024
    Oben rechts KachelX + 1 3395 KachelY 1082 -1.83962646 1.44010649 -105.402832 82.512024
    Unten links KachelX 3394 KachelY + 1 1083 -1.84000996 1.44005650 -105.424805 82.509160
    Unten rechts KachelX + 1 3395 KachelY + 1 1083 -1.83962646 1.44005650 -105.402832 82.509160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44010649-1.44005650) × R
    4.99899999999442e-05 × 6371000     		dl = 318.486289999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44010649-1.44005650) × R
    4.99899999999442e-05 × 6371000     		dr = 318.486289999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84000996--1.83962646) × cos(1.44010649) × R
    0.00038349999999987 × 0.130318127599336 × 6371000     		do = 318.403479323606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84000996--1.83962646) × cos(1.44005650) × R
    0.00038349999999987 × 0.13036769113333 × 6371000     		du = 318.524576840598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44010649)-sin(1.44005650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130318127599336-0.13036769113333)×R²
    abs(-1.83962646--1.84000996)×4.95635339940181e-05×R²
    0.00038349999999987×4.95635339940181e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.95635339940181e-05×40589641000000     		ar = 101426.426823582m²