Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33939 / 34770
↖ ↑ ↗
← S 10.930405°
E  6.432495°		 ← 599.71 m → S 10.930405°
E  6.437988°		 →
↑
599.70 m
↓
↑
599.70 m
↓
S 10.935798°
E  6.432495°		 ← 599.70 m →
359 642 m²		 S 10.935798°
E  6.437988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517875671386719 y=0.530555725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517875671386719 × 216)
    floor (0.517875671386719 × 65536)
    floor (33939.5)     		tx = 33939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530555725097656 × 216)
    floor (0.530555725097656 × 65536)
    floor (34770.5)     		ty = 34770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33939 / 34770 ti = "16/33939/34770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33939/34770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33939 ÷ 216
    33939 ÷ 65536     		x = 0.517868041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34770 ÷ 216
    34770 ÷ 65536     		y = 0.530548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517868041992188 × 2 - 1) × π
    0.035736083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11226822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.06109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.191939346078705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11226822} λ = 0.11226822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191939346078705))-π/2
    2×atan(0.825356928107669)-π/2
    2×0.690012385722924-π/2
    1.38002477144585-1.57079632675     		φ = -0.19077156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11226822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.432495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19077156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.930405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33939 KachelY 34770 0.11226822 -0.19077156 6.432495 -10.930405
    Oben rechts KachelX + 1 33940 KachelY 34770 0.11236409 -0.19077156 6.437988 -10.930405
    Unten links KachelX 33939 KachelY + 1 34771 0.11226822 -0.19086569 6.432495 -10.935798
    Unten rechts KachelX + 1 33940 KachelY + 1 34771 0.11236409 -0.19086569 6.437988 -10.935798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19077156--0.19086569) × R
    9.41299999999978e-05 × 6371000     		dl = 599.702229999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19077156--0.19086569) × R
    9.41299999999978e-05 × 6371000     		dr = 599.702229999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11226822-0.11236409) × cos(-0.19077156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9818582268668 × 6371000     		do = 599.706996844114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11226822-0.11236409) × cos(-0.19086569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98184037391452 × 6371000     		du = 599.696092479202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19077156)-sin(-0.19086569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9818582268668-0.98184037391452)×R²
    abs(0.11236409-0.11226822)×1.78529522809612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78529522809612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78529522809612e-05×40589641000000     		ar = 359642.353933534m²