Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33937 / 23735
↖ ↑ ↗
← N 44.374914°
E  6.421509°		 ← 436.62 m → N 44.374914°
E  6.427002°		 →
↑
436.67 m
↓
↑
436.67 m
↓
N 44.370987°
E  6.421509°		 ← 436.65 m →
190 666 m²		 N 44.370987°
E  6.427002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517845153808594 y=0.362174987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517845153808594 × 216)
    floor (0.517845153808594 × 65536)
    floor (33937.5)     		tx = 33937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362174987792969 × 216)
    floor (0.362174987792969 × 65536)
    floor (23735.5)     		ty = 23735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33937 / 23735 ti = "16/33937/23735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33937/23735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33937 ÷ 216
    33937 ÷ 65536     		x = 0.517837524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23735 ÷ 216
    23735 ÷ 65536     		y = 0.362167358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517837524414062 × 2 - 1) × π
    0.035675048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11207647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.362167358398438 × 2 - 1) × π
    0.275665283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.866028028535934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11207647} λ = 0.11207647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.866028028535934))-π/2
    2×atan(2.37744891544057)-π/2
    2×1.1726423362559-π/2
    2.3452846725118-1.57079632675     		φ = 0.77448835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11207647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.421509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77448835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.374914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33937 KachelY 23735 0.11207647 0.77448835 6.421509 44.374914
    Oben rechts KachelX + 1 33938 KachelY 23735 0.11217235 0.77448835 6.427002 44.374914
    Unten links KachelX 33937 KachelY + 1 23736 0.11207647 0.77441981 6.421509 44.370987
    Unten rechts KachelX + 1 33938 KachelY + 1 23736 0.11217235 0.77441981 6.427002 44.370987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77448835-0.77441981) × R
    6.85400000000058e-05 × 6371000     		dl = 436.668340000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77448835-0.77441981) × R
    6.85400000000058e-05 × 6371000     		dr = 436.668340000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11207647-0.11217235) × cos(0.77448835) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.714778950257651 × 6371000     		do = 436.623779637762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11207647-0.11217235) × cos(0.77441981) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.714826882058554 × 6371000     		du = 436.653058849283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77448835)-sin(0.77441981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714778950257651-0.714826882058554)×R²
    abs(0.11217235-0.11207647)×4.79318009030116e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79318009030116e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79318009030116e-05×40589641000000     		ar = 190666.173786211m²