Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33936 / 34449
↖ ↑ ↗
← S  9.194293°
E  6.416016°		 ← 602.94 m → S  9.194293°
E  6.421509°		 →
↑
602.95 m
↓
↑
602.95 m
↓
S  9.199715°
E  6.416016°		 ← 602.93 m →
363 541 m²		 S  9.199715°
E  6.421509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517829895019531 y=0.525657653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517829895019531 × 216)
    floor (0.517829895019531 × 65536)
    floor (33936.5)     		tx = 33936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525657653808594 × 216)
    floor (0.525657653808594 × 65536)
    floor (34449.5)     		ty = 34449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33936 / 34449 ti = "16/33936/34449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33936/34449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33936 ÷ 216
    33936 ÷ 65536     		x = 0.517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34449 ÷ 216
    34449 ÷ 65536     		y = 0.525650024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525650024414062 × 2 - 1) × π
    -0.051300048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.161163856522629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11198060} λ = 0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161163856522629))-π/2
    2×atan(0.851152592776167)-π/2
    2×0.705162823266045-π/2
    1.41032564653209-1.57079632675     		φ = -0.16047068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16047068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.194293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33936 KachelY 34449 0.11198060 -0.16047068 6.416016 -9.194293
    Oben rechts KachelX + 1 33937 KachelY 34449 0.11207647 -0.16047068 6.421509 -9.194293
    Unten links KachelX 33936 KachelY + 1 34450 0.11198060 -0.16056532 6.416016 -9.199715
    Unten rechts KachelX + 1 33937 KachelY + 1 34450 0.11207647 -0.16056532 6.421509 -9.199715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16047068--0.16056532) × R
    9.46400000000069e-05 × 6371000     		dl = 602.951440000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16047068--0.16056532) × R
    9.46400000000069e-05 × 6371000     		dr = 602.951440000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11198060-0.11207647) × cos(-0.16047068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987152186129909 × 6371000     		do = 602.940482416899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11198060-0.11207647) × cos(-0.16056532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987137059859509 × 6371000     		du = 602.931243475933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16047068)-sin(-0.16056532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987152186129909-0.987137059859509)×R²
    abs(0.11207647-0.11198060)×1.51262703997901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51262703997901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51262703997901e-05×40589641000000     		ar = 363541.047062546m²