Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33936 / 22448
↖ ↑ ↗
← N 49.210420°
E  6.416016°		 ← 399.02 m → N 49.210420°
E  6.421509°		 →
↑
399.02 m
↓
↑
399.02 m
↓
N 49.206832°
E  6.416016°		 ← 399.05 m →
159 220 m²		 N 49.206832°
E  6.421509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517829895019531 y=0.342536926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517829895019531 × 216)
    floor (0.517829895019531 × 65536)
    floor (33936.5)     		tx = 33936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342536926269531 × 216)
    floor (0.342536926269531 × 65536)
    floor (22448.5)     		ty = 22448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33936 / 22448 ti = "16/33936/22448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33936/22448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33936 ÷ 216
    33936 ÷ 65536     		x = 0.517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22448 ÷ 216
    22448 ÷ 65536     		y = 0.342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342529296875 × 2 - 1) × π
    0.31494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11198060} λ = 0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989417608157959))-π/2
    2×atan(2.68966757566576)-π/2
    2×1.21484009492188-π/2
    2.42968018984375-1.57079632675     		φ = 0.85888386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85888386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.210420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33936 KachelY 22448 0.11198060 0.85888386 6.416016 49.210420
    Oben rechts KachelX + 1 33937 KachelY 22448 0.11207647 0.85888386 6.421509 49.210420
    Unten links KachelX 33936 KachelY + 1 22449 0.11198060 0.85882123 6.416016 49.206832
    Unten rechts KachelX + 1 33937 KachelY + 1 22449 0.11207647 0.85882123 6.421509 49.206832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85888386-0.85882123) × R
    6.26300000000635e-05 × 6371000     		dl = 399.015730000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85888386-0.85882123) × R
    6.26300000000635e-05 × 6371000     		dr = 399.015730000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11198060-0.11207647) × cos(0.85888386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653282919993597 × 6371000     		do = 399.017217881969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11198060-0.11207647) × cos(0.85882123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653330336754579 × 6371000     		du = 399.04617945967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85888386)-sin(0.85882123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653282919993597-0.653330336754579)×R²
    abs(0.11207647-0.11198060)×4.74167609818554e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74167609818554e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74167609818554e-05×40589641000000     		ar = 159219.92459058m²