Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33934 / 34385
↖ ↑ ↗
← S  8.847079°
E  6.405029°		 ← 603.52 m → S  8.847079°
E  6.410522°		 →
↑
603.52 m
↓
↑
603.52 m
↓
S  8.852507°
E  6.405029°		 ← 603.51 m →
364 237 m²		 S  8.852507°
E  6.410522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517799377441406 y=0.524681091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517799377441406 × 216)
    floor (0.517799377441406 × 65536)
    floor (33934.5)     		tx = 33934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524681091308594 × 216)
    floor (0.524681091308594 × 65536)
    floor (34385.5)     		ty = 34385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33934 / 34385 ti = "16/33934/34385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33934/34385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33934 ÷ 216
    33934 ÷ 65536     		x = 0.517791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34385 ÷ 216
    34385 ÷ 65536     		y = 0.524673461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517791748046875 × 2 - 1) × π
    0.03558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11178885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524673461914062 × 2 - 1) × π
    -0.049346923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.155027933371262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11178885} λ = 0.11178885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155027933371262))-π/2
    2×atan(0.856391255254623)-π/2
    2×0.708192834802325-π/2
    1.41638566960465-1.57079632675     		φ = -0.15441066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11178885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.405029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15441066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.847079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33934 KachelY 34385 0.11178885 -0.15441066 6.405029 -8.847079
    Oben rechts KachelX + 1 33935 KachelY 34385 0.11188472 -0.15441066 6.410522 -8.847079
    Unten links KachelX 33934 KachelY + 1 34386 0.11178885 -0.15450539 6.405029 -8.852507
    Unten rechts KachelX + 1 33935 KachelY + 1 34386 0.11188472 -0.15450539 6.410522 -8.852507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15441066--0.15450539) × R
    9.47299999999873e-05 × 6371000     		dl = 603.524829999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15441066--0.15450539) × R
    9.47299999999873e-05 × 6371000     		dr = 603.524829999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11178885-0.11188472) × cos(-0.15441066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988102341557804 × 6371000     		do = 603.520825731856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11178885-0.11188472) × cos(-0.15450539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988087767858937 × 6371000     		du = 603.511924294825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15441066)-sin(-0.15450539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988102341557804-0.988087767858937)×R²
    abs(0.11188472-0.11178885)×1.45736988668155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45736988668155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45736988668155e-05×40589641000000     		ar = 364237.117904454m²