Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33932 / 34492
↖ ↑ ↗
← S  9.427387°
E  6.394043°		 ← 602.60 m → S  9.427387°
E  6.399536°		 →
↑
602.51 m
↓
↑
602.51 m
↓
S  9.432805°
E  6.394043°		 ← 602.59 m →
363 068 m²		 S  9.432805°
E  6.399536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517768859863281 y=0.526313781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517768859863281 × 216)
    floor (0.517768859863281 × 65536)
    floor (33932.5)     		tx = 33932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526313781738281 × 216)
    floor (0.526313781738281 × 65536)
    floor (34492.5)     		ty = 34492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33932 / 34492 ti = "16/33932/34492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33932/34492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33932 ÷ 216
    33932 ÷ 65536     		x = 0.51776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34492 ÷ 216
    34492 ÷ 65536     		y = 0.52630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51776123046875 × 2 - 1) × π
    0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.165286429889954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11159710} λ = 0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165286429889954))-π/2
    2×atan(0.847650876765723)-π/2
    2×0.7031286952544-π/2
    1.4062573905088-1.57079632675     		φ = -0.16453894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16453894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.427387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33932 KachelY 34492 0.11159710 -0.16453894 6.394043 -9.427387
    Oben rechts KachelX + 1 33933 KachelY 34492 0.11169298 -0.16453894 6.399536 -9.427387
    Unten links KachelX 33932 KachelY + 1 34493 0.11159710 -0.16463351 6.394043 -9.432805
    Unten rechts KachelX + 1 33933 KachelY + 1 34493 0.11169298 -0.16463351 6.399536 -9.432805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16453894--0.16463351) × R
    9.4570000000016e-05 × 6371000     		dl = 602.505470000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16453894--0.16463351) × R
    9.4570000000016e-05 × 6371000     		dr = 602.505470000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11159710-0.11169298) × cos(-0.16453894) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.986493980678799 × 6371000     		do = 602.60130810869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11159710-0.11169298) × cos(-0.16463351) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.986478485936434 × 6371000     		du = 602.591843122384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16453894)-sin(-0.16463351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986493980678799-0.986478485936434)×R²
    abs(0.11169298-0.11159710)×1.54947423649521e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.54947423649521e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.54947423649521e-05×40589641000000     		ar = 363067.733282381m²