Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33932 / 34428
↖ ↑ ↗
← S  9.080400°
E  6.394043°		 ← 603.20 m → S  9.080400°
E  6.399536°		 →
↑
603.14 m
↓
↑
603.14 m
↓
S  9.085824°
E  6.394043°		 ← 603.19 m →
363 811 m²		 S  9.085824°
E  6.399536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517768859863281 y=0.525337219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517768859863281 × 216)
    floor (0.517768859863281 × 65536)
    floor (33932.5)     		tx = 33932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525337219238281 × 216)
    floor (0.525337219238281 × 65536)
    floor (34428.5)     		ty = 34428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33932 / 34428 ti = "16/33932/34428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33932/34428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33932 ÷ 216
    33932 ÷ 65536     		x = 0.51776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34428 ÷ 216
    34428 ÷ 65536     		y = 0.52532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51776123046875 × 2 - 1) × π
    0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.159150506738586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11159710} λ = 0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159150506738586))-π/2
    2×atan(0.852867986929788)-π/2
    2×0.706156723791721-π/2
    1.41231344758344-1.57079632675     		φ = -0.15848288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15848288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.080400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33932 KachelY 34428 0.11159710 -0.15848288 6.394043 -9.080400
    Oben rechts KachelX + 1 33933 KachelY 34428 0.11169298 -0.15848288 6.399536 -9.080400
    Unten links KachelX 33932 KachelY + 1 34429 0.11159710 -0.15857755 6.394043 -9.085824
    Unten rechts KachelX + 1 33933 KachelY + 1 34429 0.11169298 -0.15857755 6.399536 -9.085824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15848288--0.15857755) × R
    9.46700000000189e-05 × 6371000     		dl = 603.14257000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15848288--0.15857755) × R
    9.46700000000189e-05 × 6371000     		dr = 603.14257000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11159710-0.11169298) × cos(-0.15848288) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.987467851993377 × 6371000     		do = 603.196198842529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11159710-0.11169298) × cos(-0.15857755) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.987452906722297 × 6371000     		du = 603.187069501571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15848288)-sin(-0.15857755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987467851993377-0.987452906722297)×R²
    abs(0.11169298-0.11159710)×1.49452710805908e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.49452710805908e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.49452710805908e-05×40589641000000     		ar = 363810.552708835m²