Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33930 / 34410
↖ ↑ ↗
← S  8.982749°
E  6.383056°		 ← 603.36 m → S  8.982749°
E  6.388550°		 →
↑
603.27 m
↓
↑
603.27 m
↓
S  8.988175°
E  6.383056°		 ← 603.35 m →
363 986 m²		 S  8.988175°
E  6.388550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517738342285156 y=0.525062561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517738342285156 × 216)
    floor (0.517738342285156 × 65536)
    floor (33930.5)     		tx = 33930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525062561035156 × 216)
    floor (0.525062561035156 × 65536)
    floor (34410.5)     		ty = 34410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33930 / 34410 ti = "16/33930/34410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33930/34410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33930 ÷ 216
    33930 ÷ 65536     		x = 0.517730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34410 ÷ 216
    34410 ÷ 65536     		y = 0.525054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517730712890625 × 2 - 1) × π
    0.03546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11140535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.05010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.157424778352264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11140535} λ = 0.11140535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157424778352264))-π/2
    2×atan(0.854341076134958)-π/2
    2×0.70700889007132-π/2
    1.41401778014264-1.57079632675     		φ = -0.15677855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11140535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.383056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15677855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.982749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33930 KachelY 34410 0.11140535 -0.15677855 6.383056 -8.982749
    Oben rechts KachelX + 1 33931 KachelY 34410 0.11150123 -0.15677855 6.388550 -8.982749
    Unten links KachelX 33930 KachelY + 1 34411 0.11140535 -0.15687324 6.383056 -8.988175
    Unten rechts KachelX + 1 33931 KachelY + 1 34411 0.11150123 -0.15687324 6.388550 -8.988175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15677855--0.15687324) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dl = 603.269990000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15677855--0.15687324) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dr = 603.269990000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11140535-0.11150123) × cos(-0.15677855) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.987735395534966 × 6371000     		do = 603.35962821096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11140535-0.11150123) × cos(-0.15687324) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.987720606486569 × 6371000     		du = 603.35059429886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15677855)-sin(-0.15687324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987735395534966-0.987720606486569)×R²
    abs(0.11150123-0.11140535)×1.47890483968016e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.47890483968016e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.47890483968016e-05×40589641000000     		ar = 363986.032205134m²