Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33930 / 23675
↖ ↑ ↗
← N 44.610024°
E  6.383056°		 ← 434.87 m → N 44.610024°
E  6.388550°		 →
↑
434.88 m
↓
↑
434.88 m
↓
N 44.606113°
E  6.383056°		 ← 434.90 m →
189 123 m²		 N 44.606113°
E  6.388550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517738342285156 y=0.361259460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517738342285156 × 216)
    floor (0.517738342285156 × 65536)
    floor (33930.5)     		tx = 33930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361259460449219 × 216)
    floor (0.361259460449219 × 65536)
    floor (23675.5)     		ty = 23675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33930 / 23675 ti = "16/33930/23675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33930/23675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33930 ÷ 216
    33930 ÷ 65536     		x = 0.517730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23675 ÷ 216
    23675 ÷ 65536     		y = 0.361251831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517730712890625 × 2 - 1) × π
    0.03546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11140535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361251831054688 × 2 - 1) × π
    0.277496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.871780456490341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11140535} λ = 0.11140535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871780456490341))-π/2
    2×atan(2.39116442997554)-π/2
    2×1.17469405792916-π/2
    2.34938811585832-1.57079632675     		φ = 0.77859179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11140535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.383056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77859179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.610024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33930 KachelY 23675 0.11140535 0.77859179 6.383056 44.610024
    Oben rechts KachelX + 1 33931 KachelY 23675 0.11150123 0.77859179 6.388550 44.610024
    Unten links KachelX 33930 KachelY + 1 23676 0.11140535 0.77852353 6.383056 44.606113
    Unten rechts KachelX + 1 33931 KachelY + 1 23676 0.11150123 0.77852353 6.388550 44.606113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77859179-0.77852353) × R
    6.82600000000422e-05 × 6371000     		dl = 434.884460000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77859179-0.77852353) × R
    6.82600000000422e-05 × 6371000     		dr = 434.884460000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11140535-0.11150123) × cos(0.77859179) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.711903197905515 × 6371000     		do = 434.867122057346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11140535-0.11150123) × cos(0.77852353) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.711951133716377 × 6371000     		du = 434.896403718356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77859179)-sin(0.77852353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711903197905515-0.711951133716377)×R²
    abs(0.11150123-0.11140535)×4.79358108624872e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79358108624872e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79358108624872e-05×40589641000000     		ar = 189123.32069095m²