Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3393 / 1089
↖ ↑ ↗
← N 82.491953°
W105.446777°		 ← 319.24 m → N 82.491953°
W105.424805°		 →
↑
319.31 m
↓
↑
319.31 m
↓
N 82.489082°
W105.446777°		 ← 319.37 m →
101 959 m²		 N 82.489082°
W105.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.207122802734375 y=0.066497802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.207122802734375 × 214)
    floor (0.207122802734375 × 16384)
    floor (3393.5)     		tx = 3393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.066497802734375 × 214)
    floor (0.066497802734375 × 16384)
    floor (1089.5)     		ty = 1089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3393 / 1089 ti = "14/3393/1089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3393/1089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3393 ÷ 214
    3393 ÷ 16384     		x = 0.20709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1089 ÷ 214
    1089 ÷ 16384     		y = 0.06646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20709228515625 × 2 - 1) × π
    -0.5858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.84039345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06646728515625 × 2 - 1) × π
    0.8670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72396638401007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84039345} λ = -1.84039345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72396638401007))-π/2
    2×atan(15.2406528003548)-π/2
    2×1.50527625731041-π/2
    3.01055251462082-1.57079632675     		φ = 1.43975619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84039345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.446777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43975619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.491953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3393 KachelY 1089 -1.84039345 1.43975619 -105.446777 82.491953
    Oben rechts KachelX + 1 3394 KachelY 1089 -1.84000996 1.43975619 -105.424805 82.491953
    Unten links KachelX 3393 KachelY + 1 1090 -1.84039345 1.43970607 -105.446777 82.489082
    Unten rechts KachelX + 1 3394 KachelY + 1 1090 -1.84000996 1.43970607 -105.424805 82.489082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43975619-1.43970607) × R
    5.01200000000424e-05 × 6371000     		dl = 319.31452000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43975619-1.43970607) × R
    5.01200000000424e-05 × 6371000     		dr = 319.31452000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84039345--1.84000996) × cos(1.43975619) × R
    0.000383490000000153 × 0.130665432319214 × 6371000     		do = 319.243716784176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84039345--1.84000996) × cos(1.43970607) × R
    0.000383490000000153 × 0.130715122452265 × 6371000     		du = 319.365120452163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43975619)-sin(1.43970607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130665432319214-0.130715122452265)×R²
    abs(-1.84000996--1.84039345)×4.96901330509225e-05×R²
    0.000383490000000153×4.96901330509225e-05×6371000²
    0.000383490000000153×4.96901330509225e-05×40589641000000     		ar = 101958.53718598m²