Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33929 / 23679
↖ ↑ ↗
← N 44.594379°
E  6.377563°		 ← 434.94 m → N 44.594379°
E  6.383056°		 →
↑
434.95 m
↓
↑
434.95 m
↓
N 44.590467°
E  6.377563°		 ← 434.97 m →
189 182 m²		 N 44.590467°
E  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517723083496094 y=0.361320495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517723083496094 × 216)
    floor (0.517723083496094 × 65536)
    floor (33929.5)     		tx = 33929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361320495605469 × 216)
    floor (0.361320495605469 × 65536)
    floor (23679.5)     		ty = 23679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33929 / 23679 ti = "16/33929/23679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33929/23679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33929 ÷ 216
    33929 ÷ 65536     		x = 0.517715454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23679 ÷ 216
    23679 ÷ 65536     		y = 0.361312866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517715454101562 × 2 - 1) × π
    0.035430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11130948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361312866210938 × 2 - 1) × π
    0.277374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.871396961293381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11130948} λ = 0.11130948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871396961293381))-π/2
    2×atan(2.39024760571159)-π/2
    2×1.17455753381866-π/2
    2.34911506763733-1.57079632675     		φ = 0.77831874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11130948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.377563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77831874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.594379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33929 KachelY 23679 0.11130948 0.77831874 6.377563 44.594379
    Oben rechts KachelX + 1 33930 KachelY 23679 0.11140535 0.77831874 6.383056 44.594379
    Unten links KachelX 33929 KachelY + 1 23680 0.11130948 0.77825047 6.377563 44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 33930 KachelY + 1 23680 0.11140535 0.77825047 6.383056 44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77831874-0.77825047) × R
    6.82699999999814e-05 × 6371000     		dl = 434.948169999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77831874-0.77825047) × R
    6.82699999999814e-05 × 6371000     		dr = 434.948169999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11130948-0.11140535) × cos(0.77831874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712094928265195 × 6371000     		do = 434.938873263399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11130948-0.11140535) × cos(0.77825047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 434.968148052617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77831874)-sin(0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712094928265195-0.712142857825438)×R²
    abs(0.11140535-0.11130948)×4.79295602431318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79295602431318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79295602431318e-05×40589641000000     		ar = 189182.233569125m²