Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33927 / 34167
↖ ↑ ↗
← S  7.661997°
E  6.366577°		 ← 605.40 m → S  7.661997°
E  6.372070°		 →
↑
605.37 m
↓
↑
605.37 m
↓
S  7.667442°
E  6.366577°		 ← 605.39 m →
366 489 m²		 S  7.667442°
E  6.372070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517692565917969 y=0.521354675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517692565917969 × 216)
    floor (0.517692565917969 × 65536)
    floor (33927.5)     		tx = 33927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521354675292969 × 216)
    floor (0.521354675292969 × 65536)
    floor (34167.5)     		ty = 34167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33927 / 34167 ti = "16/33927/34167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33927/34167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33927 ÷ 216
    33927 ÷ 65536     		x = 0.517684936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34167 ÷ 216
    34167 ÷ 65536     		y = 0.521347045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517684936523438 × 2 - 1) × π
    0.035369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11111773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521347045898438 × 2 - 1) × π
    -0.042694091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.134127445136917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11111773} λ = 0.11111773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134127445136917))-π/2
    2×atan(0.874478609455163)-π/2
    2×0.718534622468678-π/2
    1.43706924493736-1.57079632675     		φ = -0.13372708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11111773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.366577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13372708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.661997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33927 KachelY 34167 0.11111773 -0.13372708 6.366577 -7.661997
    Oben rechts KachelX + 1 33928 KachelY 34167 0.11121361 -0.13372708 6.372070 -7.661997
    Unten links KachelX 33927 KachelY + 1 34168 0.11111773 -0.13382210 6.366577 -7.667442
    Unten rechts KachelX + 1 33928 KachelY + 1 34168 0.11121361 -0.13382210 6.372070 -7.667442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13372708--0.13382210) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dl = 605.372420000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13372708--0.13382210) × R
    9.50200000000012e-05 × 6371000     		dr = 605.372420000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11111773-0.11121361) × cos(-0.13372708) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.991071851065816 × 6371000     		do = 605.397707009934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11111773-0.11121361) × cos(-0.13382210) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.991059177683065 × 6371000     		du = 605.389965455324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13372708)-sin(-0.13382210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991071851065816-0.991059177683065)×R²
    abs(0.11121361-0.11111773)×1.26733827507941e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.26733827507941e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.26733827507941e-05×40589641000000     		ar = 366488.731968921m²