Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33925 / 34453
↖ ↑ ↗
← S  9.215983°
E  6.355591°		 ← 602.90 m → S  9.215983°
E  6.361084°		 →
↑
602.89 m
↓
↑
602.89 m
↓
S  9.221404°
E  6.355591°		 ← 602.89 m →
363 480 m²		 S  9.221404°
E  6.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517662048339844 y=0.525718688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517662048339844 × 216)
    floor (0.517662048339844 × 65536)
    floor (33925.5)     		tx = 33925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525718688964844 × 216)
    floor (0.525718688964844 × 65536)
    floor (34453.5)     		ty = 34453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33925 / 34453 ti = "16/33925/34453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33925/34453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33925 ÷ 216
    33925 ÷ 65536     		x = 0.517654418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34453 ÷ 216
    34453 ÷ 65536     		y = 0.525711059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517654418945312 × 2 - 1) × π
    0.035308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11092599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525711059570312 × 2 - 1) × π
    -0.051422119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.161547351719589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11092599} λ = 0.11092599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161547351719589))-π/2
    2×atan(0.850826242425853)-π/2
    2×0.704973545008712-π/2
    1.40994709001742-1.57079632675     		φ = -0.16084924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11092599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.355591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16084924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.215983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33925 KachelY 34453 0.11092599 -0.16084924 6.355591 -9.215983
    Oben rechts KachelX + 1 33926 KachelY 34453 0.11102186 -0.16084924 6.361084 -9.215983
    Unten links KachelX 33925 KachelY + 1 34454 0.11092599 -0.16094387 6.355591 -9.221404
    Unten rechts KachelX + 1 33926 KachelY + 1 34454 0.11102186 -0.16094387 6.361084 -9.221404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16084924--0.16094387) × R
    9.46299999999844e-05 × 6371000     		dl = 602.887729999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16084924--0.16094387) × R
    9.46299999999844e-05 × 6371000     		dr = 602.887729999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11092599-0.11102186) × cos(-0.16084924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987091627999734 × 6371000     		do = 602.903494251614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11092599-0.11102186) × cos(-0.16094387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987076467966569 × 6371000     		du = 602.894234688764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16084924)-sin(-0.16094387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987091627999734-0.987076467966569)×R²
    abs(0.11102186-0.11092599)×1.51600331653734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51600331653734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51600331653734e-05×40589641000000     		ar = 363480.328091213m²