Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33925 / 23595
↖ ↑ ↗
← N 44.922029°
E  6.355591°		 ← 432.48 m → N 44.922029°
E  6.361084°		 →
↑
432.53 m
↓
↑
432.53 m
↓
N 44.918139°
E  6.355591°		 ← 432.51 m →
187 065 m²		 N 44.918139°
E  6.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517662048339844 y=0.360038757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517662048339844 × 216)
    floor (0.517662048339844 × 65536)
    floor (33925.5)     		tx = 33925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360038757324219 × 216)
    floor (0.360038757324219 × 65536)
    floor (23595.5)     		ty = 23595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33925 / 23595 ti = "16/33925/23595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33925/23595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33925 ÷ 216
    33925 ÷ 65536     		x = 0.517654418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23595 ÷ 216
    23595 ÷ 65536     		y = 0.360031127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517654418945312 × 2 - 1) × π
    0.035308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11092599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360031127929688 × 2 - 1) × π
    0.279937744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.87945036042955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11092599} λ = 0.11092599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87945036042955))-π/2
    2×atan(2.40957494464227)-π/2
    2×1.17741681946462-π/2
    2.35483363892924-1.57079632675     		φ = 0.78403731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11092599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.355591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78403731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.922029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33925 KachelY 23595 0.11092599 0.78403731 6.355591 44.922029
    Oben rechts KachelX + 1 33926 KachelY 23595 0.11102186 0.78403731 6.361084 44.922029
    Unten links KachelX 33925 KachelY + 1 23596 0.11092599 0.78396942 6.355591 44.918139
    Unten rechts KachelX + 1 33926 KachelY + 1 23596 0.11102186 0.78396942 6.361084 44.918139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78403731-0.78396942) × R
    6.78899999999594e-05 × 6371000     		dl = 432.527189999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78403731-0.78396942) × R
    6.78899999999594e-05 × 6371000     		dr = 432.527189999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11092599-0.11102186) × cos(0.78403731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708068394801886 × 6371000     		do = 432.479515868514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11092599-0.11102186) × cos(0.78396942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708116333276611 × 6371000     		du = 432.508796102589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78403731)-sin(0.78396942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708068394801886-0.708116333276611)×R²
    abs(0.11102186-0.11092599)×4.79384747251732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79384747251732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79384747251732e-05×40589641000000     		ar = 187065.482051775m²