Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33923 / 34383
↖ ↑ ↗
← S  8.836223°
E  6.344605°		 ← 603.54 m → S  8.836223°
E  6.350098°		 →
↑
603.52 m
↓
↑
603.52 m
↓
S  8.841651°
E  6.344605°		 ← 603.53 m →
364 248 m²		 S  8.841651°
E  6.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517631530761719 y=0.524650573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517631530761719 × 216)
    floor (0.517631530761719 × 65536)
    floor (33923.5)     		tx = 33923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524650573730469 × 216)
    floor (0.524650573730469 × 65536)
    floor (34383.5)     		ty = 34383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33923 / 34383 ti = "16/33923/34383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33923/34383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33923 ÷ 216
    33923 ÷ 65536     		x = 0.517623901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34383 ÷ 216
    34383 ÷ 65536     		y = 0.524642944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517623901367188 × 2 - 1) × π
    0.035247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11073424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524642944335938 × 2 - 1) × π
    -0.049285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.154836185772781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11073424} λ = 0.11073424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154836185772781))-π/2
    2×atan(0.856555481965713)-π/2
    2×0.708287569324194-π/2
    1.41657513864839-1.57079632675     		φ = -0.15422119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11073424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.344605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15422119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.836223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33923 KachelY 34383 0.11073424 -0.15422119 6.344605 -8.836223
    Oben rechts KachelX + 1 33924 KachelY 34383 0.11083011 -0.15422119 6.350098 -8.836223
    Unten links KachelX 33923 KachelY + 1 34384 0.11073424 -0.15431592 6.344605 -8.841651
    Unten rechts KachelX + 1 33924 KachelY + 1 34384 0.11083011 -0.15431592 6.350098 -8.841651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15422119--0.15431592) × R
    9.47299999999873e-05 × 6371000     		dl = 603.524829999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15422119--0.15431592) × R
    9.47299999999873e-05 × 6371000     		dr = 603.524829999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11073424-0.11083011) × cos(-0.15422119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988131463890495 × 6371000     		do = 603.538613296497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11073424-0.11083011) × cos(-0.15431592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988116907926707 × 6371000     		du = 603.529722691835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15422119)-sin(-0.15431592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988131463890495-0.988116907926707)×R²
    abs(0.11083011-0.11073424)×1.45559637879655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45559637879655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45559637879655e-05×40589641000000     		ar = 364247.856410211m²