Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33922 / 22404
↖ ↑ ↗
← N 49.368066°
E  6.339111°		 ← 397.78 m → N 49.368066°
E  6.344605°		 →
↑
397.74 m
↓
↑
397.74 m
↓
N 49.364489°
E  6.339111°		 ← 397.81 m →
158 221 m²		 N 49.364489°
E  6.344605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517616271972656 y=0.341865539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517616271972656 × 216)
    floor (0.517616271972656 × 65536)
    floor (33922.5)     		tx = 33922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341865539550781 × 216)
    floor (0.341865539550781 × 65536)
    floor (22404.5)     		ty = 22404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33922 / 22404 ti = "16/33922/22404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33922/22404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33922 ÷ 216
    33922 ÷ 65536     		x = 0.517608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22404 ÷ 216
    22404 ÷ 65536     		y = 0.34185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517608642578125 × 2 - 1) × π
    0.03521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11063836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34185791015625 × 2 - 1) × π
    0.3162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.993636055324524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11063836} λ = 0.11063836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993636055324524))-π/2
    2×atan(2.7010377616324)-π/2
    2×1.216215814831-π/2
    2.43243162966201-1.57079632675     		φ = 0.86163530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11063836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.339111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86163530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.368066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33922 KachelY 22404 0.11063836 0.86163530 6.339111 49.368066
    Oben rechts KachelX + 1 33923 KachelY 22404 0.11073424 0.86163530 6.344605 49.368066
    Unten links KachelX 33922 KachelY + 1 22405 0.11063836 0.86157287 6.339111 49.364489
    Unten rechts KachelX + 1 33923 KachelY + 1 22405 0.11073424 0.86157287 6.344605 49.364489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86163530-0.86157287) × R
    6.24299999999467e-05 × 6371000     		dl = 397.74152999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86163530-0.86157287) × R
    6.24299999999467e-05 × 6371000     		dr = 397.74152999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11063836-0.11073424) × cos(0.86163530) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651197296397375 × 6371000     		do = 397.784832276305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11063836-0.11073424) × cos(0.86157287) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651244673784735 × 6371000     		du = 397.813772823492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86163530)-sin(0.86157287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651197296397375-0.651244673784735)×R²
    abs(0.11073424-0.11063836)×4.73773873593819e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73773873593819e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73773873593819e-05×40589641000000     		ar = 158221.303280123m²