Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33919 / 22514
↖ ↑ ↗
← N 48.973006°
E  6.322632°		 ← 400.97 m → N 48.973006°
E  6.328125°		 →
↑
400.99 m
↓
↑
400.99 m
↓
N 48.969400°
E  6.322632°		 ← 401 m →
160 792 m²		 N 48.969400°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517570495605469 y=0.343544006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517570495605469 × 216)
    floor (0.517570495605469 × 65536)
    floor (33919.5)     		tx = 33919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343544006347656 × 216)
    floor (0.343544006347656 × 65536)
    floor (22514.5)     		ty = 22514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33919 / 22514 ti = "16/33919/22514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33919/22514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33919 ÷ 216
    33919 ÷ 65536     		x = 0.517562866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22514 ÷ 216
    22514 ÷ 65536     		y = 0.343536376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517562866210938 × 2 - 1) × π
    0.035125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11035074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343536376953125 × 2 - 1) × π
    0.31292724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.983089937408112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11035074} λ = 0.11035074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983089937408112))-π/2
    2×atan(2.67270197778681)-π/2
    2×1.21276826235341-π/2
    2.42553652470682-1.57079632675     		φ = 0.85474020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11035074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.322632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85474020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.973006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33919 KachelY 22514 0.11035074 0.85474020 6.322632 48.973006
    Oben rechts KachelX + 1 33920 KachelY 22514 0.11044662 0.85474020 6.328125 48.973006
    Unten links KachelX 33919 KachelY + 1 22515 0.11035074 0.85467726 6.322632 48.969400
    Unten rechts KachelX + 1 33920 KachelY + 1 22515 0.11044662 0.85467726 6.328125 48.969400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85474020-0.85467726) × R
    6.29399999999558e-05 × 6371000     		dl = 400.990739999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85474020-0.85467726) × R
    6.29399999999558e-05 × 6371000     		dr = 400.990739999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11035074-0.11044662) × cos(0.85474020) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.656414525114531 × 6371000     		do = 400.971784159678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11035074-0.11044662) × cos(0.85467726) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.656462005775822 × 6371000     		du = 401.000787791899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85474020)-sin(0.85467726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656414525114531-0.656462005775822)×R²
    abs(0.11044662-0.11035074)×4.74806612911216e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74806612911216e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74806612911216e-05×40589641000000     		ar = 160791.787596142m²