Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33918 / 34297
↖ ↑ ↗
← S  8.369127°
E  6.317139°		 ← 604.28 m → S  8.369127°
E  6.322632°		 →
↑
604.29 m
↓
↑
604.29 m
↓
S  8.374562°
E  6.317139°		 ← 604.27 m →
365 159 m²		 S  8.374562°
E  6.322632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517555236816406 y=0.523338317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517555236816406 × 216)
    floor (0.517555236816406 × 65536)
    floor (33918.5)     		tx = 33918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523338317871094 × 216)
    floor (0.523338317871094 × 65536)
    floor (34297.5)     		ty = 34297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33918 / 34297 ti = "16/33918/34297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33918/34297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33918 ÷ 216
    33918 ÷ 65536     		x = 0.517547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34297 ÷ 216
    34297 ÷ 65536     		y = 0.523330688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517547607421875 × 2 - 1) × π
    0.03509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11025487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523330688476562 × 2 - 1) × π
    -0.046661376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.146591039038132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11025487} λ = 0.11025487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146591039038132))-π/2
    2×atan(0.863647103154098)-π/2
    2×0.712363749454056-π/2
    1.42472749890811-1.57079632675     		φ = -0.14606883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11025487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14606883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.369127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33918 KachelY 34297 0.11025487 -0.14606883 6.317139 -8.369127
    Oben rechts KachelX + 1 33919 KachelY 34297 0.11035074 -0.14606883 6.322632 -8.369127
    Unten links KachelX 33918 KachelY + 1 34298 0.11025487 -0.14616368 6.317139 -8.374562
    Unten rechts KachelX + 1 33919 KachelY + 1 34298 0.11035074 -0.14616368 6.322632 -8.374562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14606883--0.14616368) × R
    9.48499999999797e-05 × 6371000     		dl = 604.289349999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14606883--0.14616368) × R
    9.48499999999797e-05 × 6371000     		dr = 604.289349999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11025487-0.11035074) × cos(-0.14606883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989350902853635 × 6371000     		do = 604.283431701445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11025487-0.11035074) × cos(-0.14616368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989337092989537 × 6371000     		du = 604.274996805349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14606883)-sin(-0.14616368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989350902853635-0.989337092989537)×R²
    abs(0.11035074-0.11025487)×1.38098640984907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38098640984907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38098640984907e-05×40589641000000     		ar = 365159.493873381m²