Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33918 / 23585
↖ ↑ ↗
← N 44.960911°
E  6.317139°		 ← 432.19 m → N 44.960911°
E  6.322632°		 →
↑
432.21 m
↓
↑
432.21 m
↓
N 44.957024°
E  6.317139°		 ← 432.22 m →
186 801 m²		 N 44.957024°
E  6.322632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517555236816406 y=0.359886169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517555236816406 × 216)
    floor (0.517555236816406 × 65536)
    floor (33918.5)     		tx = 33918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359886169433594 × 216)
    floor (0.359886169433594 × 65536)
    floor (23585.5)     		ty = 23585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33918 / 23585 ti = "16/33918/23585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33918/23585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33918 ÷ 216
    33918 ÷ 65536     		x = 0.517547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23585 ÷ 216
    23585 ÷ 65536     		y = 0.359878540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517547607421875 × 2 - 1) × π
    0.03509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11025487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359878540039062 × 2 - 1) × π
    0.280242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.880409098421951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11025487} λ = 0.11025487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880409098421951))-π/2
    2×atan(2.41188620345602)-π/2
    2×1.17775613060254-π/2
    2.35551226120508-1.57079632675     		φ = 0.78471593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11025487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78471593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.960911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33918 KachelY 23585 0.11025487 0.78471593 6.317139 44.960911
    Oben rechts KachelX + 1 33919 KachelY 23585 0.11035074 0.78471593 6.322632 44.960911
    Unten links KachelX 33918 KachelY + 1 23586 0.11025487 0.78464809 6.317139 44.957024
    Unten rechts KachelX + 1 33919 KachelY + 1 23586 0.11035074 0.78464809 6.322632 44.957024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78471593-0.78464809) × R
    6.78399999999302e-05 × 6371000     		dl = 432.208639999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78471593-0.78464809) × R
    6.78399999999302e-05 × 6371000     		dr = 432.208639999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11025487-0.11035074) × cos(0.78471593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707589028452077 × 6371000     		do = 432.186724764701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11025487-0.11035074) × cos(0.78464809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707636964209838 × 6371000     		du = 432.216003339287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78471593)-sin(0.78464809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707589028452077-0.707636964209838)×R²
    abs(0.11035074-0.11025487)×4.7935757760742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7935757760742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7935757760742e-05×40589641000000     		ar = 186801.163834384m²