Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33917 / 34290
↖ ↑ ↗
← S  8.331083°
E  6.311646°		 ← 604.34 m → S  8.331083°
E  6.317139°		 →
↑
604.35 m
↓
↑
604.35 m
↓
S  8.336518°
E  6.311646°		 ← 604.33 m →
365 234 m²		 S  8.336518°
E  6.317139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517539978027344 y=0.523231506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517539978027344 × 216)
    floor (0.517539978027344 × 65536)
    floor (33917.5)     		tx = 33917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523231506347656 × 216)
    floor (0.523231506347656 × 65536)
    floor (34290.5)     		ty = 34290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33917 / 34290 ti = "16/33917/34290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33917/34290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33917 ÷ 216
    33917 ÷ 65536     		x = 0.517532348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34290 ÷ 216
    34290 ÷ 65536     		y = 0.523223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517532348632812 × 2 - 1) × π
    0.035064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11015900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.04644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.145919922443451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11015900} λ = 0.11015900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.145919922443451))-π/2
    2×atan(0.86422690559273)-π/2
    2×0.712695750549032-π/2
    1.42539150109806-1.57079632675     		φ = -0.14540483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11015900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.311646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14540483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.331083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33917 KachelY 34290 0.11015900 -0.14540483 6.311646 -8.331083
    Oben rechts KachelX + 1 33918 KachelY 34290 0.11025487 -0.14540483 6.317139 -8.331083
    Unten links KachelX 33917 KachelY + 1 34291 0.11015900 -0.14549969 6.311646 -8.336518
    Unten rechts KachelX + 1 33918 KachelY + 1 34291 0.11025487 -0.14549969 6.317139 -8.336518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14540483--0.14549969) × R
    9.48599999999744e-05 × 6371000     		dl = 604.353059999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14540483--0.14549969) × R
    9.48599999999744e-05 × 6371000     		dr = 604.353059999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11015900-0.11025487) × cos(-0.14540483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989447329919934 × 6371000     		do = 604.342328174238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11015900-0.11025487) × cos(-0.14549969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989433580918288 × 6371000     		du = 604.333930452182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14540483)-sin(-0.14549969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989447329919934-0.989433580918288)×R²
    abs(0.11025487-0.11015900)×1.37490016464126e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37490016464126e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37490016464126e-05×40589641000000     		ar = 365233.597998897m²