Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33915 / 23863
↖ ↑ ↗
← N 43.870178°
E  6.300659°		 ← 440.32 m → N 43.870178°
E  6.306152°		 →
↑
440.36 m
↓
↑
440.36 m
↓
N 43.866218°
E  6.300659°		 ← 440.35 m →
193 909 m²		 N 43.866218°
E  6.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517509460449219 y=0.364128112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517509460449219 × 216)
    floor (0.517509460449219 × 65536)
    floor (33915.5)     		tx = 33915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364128112792969 × 216)
    floor (0.364128112792969 × 65536)
    floor (23863.5)     		ty = 23863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33915 / 23863 ti = "16/33915/23863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33915/23863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33915 ÷ 216
    33915 ÷ 65536     		x = 0.517501831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23863 ÷ 216
    23863 ÷ 65536     		y = 0.364120483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517501831054688 × 2 - 1) × π
    0.035003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10996725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364120483398438 × 2 - 1) × π
    0.271759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.8537561822332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10996725} λ = 0.10996725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8537561822332))-π/2
    2×atan(2.3484515174753)-π/2
    2×1.16823769012516-π/2
    2.33647538025033-1.57079632675     		φ = 0.76567905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10996725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.300659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76567905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.870178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33915 KachelY 23863 0.10996725 0.76567905 6.300659 43.870178
    Oben rechts KachelX + 1 33916 KachelY 23863 0.11006312 0.76567905 6.306152 43.870178
    Unten links KachelX 33915 KachelY + 1 23864 0.10996725 0.76560993 6.300659 43.866218
    Unten rechts KachelX + 1 33916 KachelY + 1 23864 0.11006312 0.76560993 6.306152 43.866218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76567905-0.76560993) × R
    6.91200000000336e-05 × 6371000     		dl = 440.363520000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76567905-0.76560993) × R
    6.91200000000336e-05 × 6371000     		dr = 440.363520000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10996725-0.11006312) × cos(0.76567905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.720911923905965 × 6371000     		do = 440.324186368925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10996725-0.11006312) × cos(0.76560993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72095982418888 × 6371000     		du = 440.353443275908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76567905)-sin(0.76560993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720911923905965-0.72095982418888)×R²
    abs(0.11006312-0.10996725)×4.79002829147923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79002829147923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79002829147923e-05×40589641000000     		ar = 193909.150565084m²