Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33913 / 34834
S 11.275387°
E  6.289673°
← 599 m → S 11.275387°
E  6.295166°

599 m

599 m
S 11.280774°
E  6.289673°
← 598.99 m →
358 798 m²
S 11.280774°
E  6.295166°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517478942871094 y=0.531532287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517478942871094 × 216)
    floor (0.517478942871094 × 65536)
    floor (33913.5)
    tx = 33913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531532287597656 × 216)
    floor (0.531532287597656 × 65536)
    floor (34834.5)
    ty = 34834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33913 / 34834 ti = "16/33913/34834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33913/34834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33913 ÷ 216
    33913 ÷ 65536
    x = 0.517471313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34834 ÷ 216
    34834 ÷ 65536
    y = 0.531524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.517471313476562 × 2 - 1) × π
    0.034942626953125 × 3.1415926535
    Λ = 0.10977550
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.531524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.06304931640625 × 3.1415926535
    Φ = -0.198075269230072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10977550} λ = 0.10977550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198075269230072))-π/2
    2×atan(0.820308106854438)-π/2
    2×0.687001852289512-π/2
    1.37400370457902-1.57079632675
    φ = -0.19679262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10977550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.289673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19679262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.275387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33913 KachelY 34834 0.10977550 -0.19679262 6.289673 -11.275387
    Oben rechts KachelX + 1 33914 KachelY 34834 0.10987137 -0.19679262 6.295166 -11.275387
    Unten links KachelX 33913 KachelY + 1 34835 0.10977550 -0.19688664 6.289673 -11.280774
    Unten rechts KachelX + 1 33914 KachelY + 1 34835 0.10987137 -0.19688664 6.295166 -11.280774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.19679262--0.19688664) × R
    9.40200000000002e-05 × 6371000
    dl = 599.001420000001m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.19679262--0.19688664) × R
    9.40200000000002e-05 × 6371000
    dr = 599.001420000001m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.10977550-0.10987137) × cos(-0.19679262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980698743678425 × 6371000
    do = 598.998798693134m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.10977550-0.10987137) × cos(-0.19688664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980680356095758 × 6371000
    du = 598.987567782521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.19679262)-sin(-0.19688664))×
    abs(λ12)×abs(0.980698743678425-0.980680356095758)×
    abs(0.10987137-0.10977550)×1.83875826671454e-05×
    9.58699999999979e-05×1.83875826671454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83875826671454e-05×40589641000000
    ar = 358797.767594098m²