Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33912 / 34230
↖ ↑ ↗
← S  8.004837°
E  6.284180°		 ← 604.84 m → S  8.004837°
E  6.289673°		 →
↑
604.86 m
↓
↑
604.86 m
↓
S  8.010277°
E  6.284180°		 ← 604.83 m →
365 841 m²		 S  8.010277°
E  6.289673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517463684082031 y=0.522315979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517463684082031 × 216)
    floor (0.517463684082031 × 65536)
    floor (33912.5)     		tx = 33912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522315979003906 × 216)
    floor (0.522315979003906 × 65536)
    floor (34230.5)     		ty = 34230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33912 / 34230 ti = "16/33912/34230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33912/34230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33912 ÷ 216
    33912 ÷ 65536     		x = 0.5174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34230 ÷ 216
    34230 ÷ 65536     		y = 0.522308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.04461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.140167494489044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10967963} λ = 0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140167494489044))-π/2
    2×atan(0.869212634879354)-π/2
    2×0.715542783732799-π/2
    1.4310855674656-1.57079632675     		φ = -0.13971076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13971076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.004837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33912 KachelY 34230 0.10967963 -0.13971076 6.284180 -8.004837
    Oben rechts KachelX + 1 33913 KachelY 34230 0.10977550 -0.13971076 6.289673 -8.004837
    Unten links KachelX 33912 KachelY + 1 34231 0.10967963 -0.13980570 6.284180 -8.010277
    Unten rechts KachelX + 1 33913 KachelY + 1 34231 0.10977550 -0.13980570 6.289673 -8.010277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13971076--0.13980570) × R
    9.49400000000156e-05 × 6371000     		dl = 604.862740000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13971076--0.13980570) × R
    9.49400000000156e-05 × 6371000     		dr = 604.862740000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10967963-0.10977550) × cos(-0.13971076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990256316241929 × 6371000     		do = 604.83644712581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10967963-0.10977550) × cos(-0.13980570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990243090748082 × 6371000     		du = 604.828369155916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13971076)-sin(-0.13980570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990256316241929-0.990243090748082)×R²
    abs(0.10977550-0.10967963)×1.32254938470799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.32254938470799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.32254938470799e-05×40589641000000     		ar = 365840.587903798m²