Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33912 / 22472
↖ ↑ ↗
← N 49.124219°
E  6.284180°		 ← 399.71 m → N 49.124219°
E  6.289673°		 →
↑
399.78 m
↓
↑
399.78 m
↓
N 49.120624°
E  6.284180°		 ← 399.74 m →
159 803 m²		 N 49.120624°
E  6.289673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517463684082031 y=0.342903137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517463684082031 × 216)
    floor (0.517463684082031 × 65536)
    floor (33912.5)     		tx = 33912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342903137207031 × 216)
    floor (0.342903137207031 × 65536)
    floor (22472.5)     		ty = 22472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33912 / 22472 ti = "16/33912/22472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33912/22472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33912 ÷ 216
    33912 ÷ 65536     		x = 0.5174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22472 ÷ 216
    22472 ÷ 65536     		y = 0.3428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3428955078125 × 2 - 1) × π
    0.314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.987116636976196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10967963} λ = 0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987116636976196))-π/2
    2×atan(2.68348584280763)-π/2
    2×1.21408784756796-π/2
    2.42817569513593-1.57079632675     		φ = 0.85737937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85737937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.124219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33912 KachelY 22472 0.10967963 0.85737937 6.284180 49.124219
    Oben rechts KachelX + 1 33913 KachelY 22472 0.10977550 0.85737937 6.289673 49.124219
    Unten links KachelX 33912 KachelY + 1 22473 0.10967963 0.85731662 6.284180 49.120624
    Unten rechts KachelX + 1 33913 KachelY + 1 22473 0.10977550 0.85731662 6.289673 49.120624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85737937-0.85731662) × R
    6.27500000000003e-05 × 6371000     		dl = 399.780250000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85737937-0.85731662) × R
    6.27500000000003e-05 × 6371000     		dr = 399.780250000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10967963-0.10977550) × cos(0.85737937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654421250474776 × 6371000     		do = 399.712496218091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10967963-0.10977550) × cos(0.85731662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654468696354208 × 6371000     		du = 399.741475580985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85737937)-sin(0.85731662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654421250474776-0.654468696354208)×R²
    abs(0.10977550-0.10967963)×4.74458794312849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74458794312849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74458794312849e-05×40589641000000     		ar = 159802.954407067m²