Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33911 / 22517
↖ ↑ ↗
← N 48.962187°
E  6.278686°		 ← 401.06 m → N 48.962187°
E  6.284180°		 →
↑
401.05 m
↓
↑
401.05 m
↓
N 48.958581°
E  6.278686°		 ← 401.09 m →
160 852 m²		 N 48.958581°
E  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517448425292969 y=0.343589782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517448425292969 × 216)
    floor (0.517448425292969 × 65536)
    floor (33911.5)     		tx = 33911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343589782714844 × 216)
    floor (0.343589782714844 × 65536)
    floor (22517.5)     		ty = 22517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33911 / 22517 ti = "16/33911/22517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33911/22517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33911 ÷ 216
    33911 ÷ 65536     		x = 0.517440795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22517 ÷ 216
    22517 ÷ 65536     		y = 0.343582153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517440795898438 × 2 - 1) × π
    0.034881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10958375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343582153320312 × 2 - 1) × π
    0.312835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.982802316010391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10958375} λ = 0.10958375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982802316010391))-π/2
    2×atan(2.67193336204874)-π/2
    2×1.21267385267993-π/2
    2.42534770535986-1.57079632675     		φ = 0.85455138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10958375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.278686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85455138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.962187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33911 KachelY 22517 0.10958375 0.85455138 6.278686 48.962187
    Oben rechts KachelX + 1 33912 KachelY 22517 0.10967963 0.85455138 6.284180 48.962187
    Unten links KachelX 33911 KachelY + 1 22518 0.10958375 0.85448843 6.278686 48.958581
    Unten rechts KachelX + 1 33912 KachelY + 1 22518 0.10967963 0.85448843 6.284180 48.958581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85455138-0.85448843) × R
    6.29500000000061e-05 × 6371000     		dl = 401.054450000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85455138-0.85448843) × R
    6.29500000000061e-05 × 6371000     		dr = 401.054450000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10958375-0.10967963) × cos(0.85455138) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.656556959296605 × 6371000     		do = 401.058790290658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10958375-0.10967963) × cos(0.85448843) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.656604439698071 × 6371000     		du = 401.087793764165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85455138)-sin(0.85448843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656556959296605-0.656604439698071)×R²
    abs(0.10967963-0.10958375)×4.74804014665153e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.74804014665153e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.74804014665153e-05×40589641000000     		ar = 160852.228597063m²