Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33911 / 22473
↖ ↑ ↗
← N 49.120624°
E  6.278686°		 ← 399.78 m → N 49.120624°
E  6.284180°		 →
↑
399.72 m
↓
↑
399.72 m
↓
N 49.117029°
E  6.278686°		 ← 399.81 m →
159 806 m²		 N 49.117029°
E  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517448425292969 y=0.342918395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517448425292969 × 216)
    floor (0.517448425292969 × 65536)
    floor (33911.5)     		tx = 33911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342918395996094 × 216)
    floor (0.342918395996094 × 65536)
    floor (22473.5)     		ty = 22473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33911 / 22473 ti = "16/33911/22473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33911/22473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33911 ÷ 216
    33911 ÷ 65536     		x = 0.517440795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22473 ÷ 216
    22473 ÷ 65536     		y = 0.342910766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517440795898438 × 2 - 1) × π
    0.034881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10958375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342910766601562 × 2 - 1) × π
    0.314178466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.987020763176956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10958375} λ = 0.10958375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987020763176956))-π/2
    2×atan(2.68322857915729)-π/2
    2×1.21405647550502-π/2
    2.42811295101003-1.57079632675     		φ = 0.85731662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10958375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.278686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85731662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.120624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33911 KachelY 22473 0.10958375 0.85731662 6.278686 49.120624
    Oben rechts KachelX + 1 33912 KachelY 22473 0.10967963 0.85731662 6.284180 49.120624
    Unten links KachelX 33911 KachelY + 1 22474 0.10958375 0.85725388 6.278686 49.117029
    Unten rechts KachelX + 1 33912 KachelY + 1 22474 0.10967963 0.85725388 6.284180 49.117029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85731662-0.85725388) × R
    6.27399999999501e-05 × 6371000     		dl = 399.716539999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85731662-0.85725388) × R
    6.27399999999501e-05 × 6371000     		dr = 399.716539999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10958375-0.10967963) × cos(0.85731662) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.654468696354208 × 6371000     		do = 399.783171781665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10958375-0.10967963) × cos(0.85725388) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.654516132096147 × 6371000     		du = 399.812147974834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85731662)-sin(0.85725388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654468696354208-0.654516132096147)×R²
    abs(0.10967963-0.10958375)×4.74357419394389e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.74357419394389e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.74357419394389e-05×40589641000000     		ar = 159805.737358816m²