Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3391 / 783
↖ ↑ ↗
← N 80.990573°
W 30.981445°		 ← 765.21 m → N 80.990573°
W 30.937500°		 →
↑
765.54 m
↓
↑
765.54 m
↓
N 80.983688°
W 30.981445°		 ← 765.79 m →
586 020 m²		 N 80.983688°
W 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41400146484375 y=0.09564208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41400146484375 × 213)
    floor (0.41400146484375 × 8192)
    floor (3391.5)     		tx = 3391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09564208984375 × 213)
    floor (0.09564208984375 × 8192)
    floor (783.5)     		ty = 783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3391 / 783 ti = "13/3391/783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3391/783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3391 ÷ 213
    3391 ÷ 8192     		x = 0.4139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 783 ÷ 213
    783 ÷ 8192     		y = 0.0955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.172119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54072823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955810546875 × 2 - 1) × π
    0.808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54103917505994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54072823} λ = -0.54072823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54103917505994))-π/2
    2×atan(12.6928542173391)-π/2
    2×1.49217424102586-π/2
    2.98434848205173-1.57079632675     		φ = 1.41355216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54072823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.981445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41355216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.990573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3391 KachelY 783 -0.54072823 1.41355216 -30.981445 80.990573
    Oben rechts KachelX + 1 3392 KachelY 783 -0.53996124 1.41355216 -30.937500 80.990573
    Unten links KachelX 3391 KachelY + 1 784 -0.54072823 1.41343200 -30.981445 80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 3392 KachelY + 1 784 -0.53996124 1.41343200 -30.937500 80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41355216-1.41343200) × R
    0.000120160000000036 × 6371000     		dl = 765.539360000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41355216-1.41343200) × R
    0.000120160000000036 × 6371000     		dr = 765.539360000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54072823--0.53996124) × cos(1.41355216) × R
    0.000766990000000023 × 0.156596971349459 × 6371000     		do = 765.210049733478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54072823--0.53996124) × cos(1.41343200) × R
    0.000766990000000023 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 765.789961194258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41355216)-sin(1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156596971349459-0.156715647755291)×R²
    abs(-0.53996124--0.54072823)×0.000118676405832102×R²
    0.000766990000000023×0.000118676405832102×6371000²
    0.000766990000000023×0.000118676405832102×40589641000000     		ar = 586020.384967138m²