Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3391 / 3903
↖ ↑ ↗
← N 79.562537°
W142.745361°		 ← 221.31 m → N 79.562537°
W142.734375°		 →
↑
221.33 m
↓
↑
221.33 m
↓
N 79.560546°
W142.745361°		 ← 221.36 m →
48 988 m²		 N 79.560546°
W142.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103500366210938 y=0.119125366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103500366210938 × 215)
    floor (0.103500366210938 × 32768)
    floor (3391.5)     		tx = 3391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119125366210938 × 215)
    floor (0.119125366210938 × 32768)
    floor (3903.5)     		ty = 3903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3391 / 3903 ti = "15/3391/3903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3391/3903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3391 ÷ 215
    3391 ÷ 32768     		x = 0.103485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3903 ÷ 215
    3903 ÷ 32768     		y = 0.119110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.79302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.49137655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119110107421875 × 2 - 1) × π
    0.76177978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39320177663168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49137655} λ = -2.49137655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39320177663168))-π/2
    2×atan(10.94849251182)-π/2
    2×1.47971227723344-π/2
    2.95942455446688-1.57079632675     		φ = 1.38862823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49137655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.745361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38862823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.562537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3391 KachelY 3903 -2.49137655 1.38862823 -142.745361 79.562537
    Oben rechts KachelX + 1 3392 KachelY 3903 -2.49118480 1.38862823 -142.734375 79.562537
    Unten links KachelX 3391 KachelY + 1 3904 -2.49137655 1.38859349 -142.745361 79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 3392 KachelY + 1 3904 -2.49118480 1.38859349 -142.734375 79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38862823-1.38859349) × R
    3.4739999999811e-05 × 6371000     		dl = 221.328539998796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38862823-1.38859349) × R
    3.4739999999811e-05 × 6371000     		dr = 221.328539998796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49137655--2.49118480) × cos(1.38862823) × R
    0.000191749999999935 × 0.181162219334751 × 6371000     		do = 221.314877756366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49137655--2.49118480) × cos(1.38859349) × R
    0.000191749999999935 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 221.356615129497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38862823)-sin(1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181162219334751-0.181196384390541)×R²
    abs(-2.49118480--2.49137655)×3.41650557899031e-05×R²
    0.000191749999999935×3.41650557899031e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.41650557899031e-05×40589641000000     		ar = 48987.9176143403m²