Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3391 / 3178
↖ ↑ ↗
← S 69.960439°
E118.037109°		 ← 3 348.90 m → S 69.960439°
E118.125000°		 →
↑
3 346.50 m
↓
↑
3 346.50 m
↓
S 69.990535°
E118.037109°		 ← 3 344.08 m →
11 199 002 m²		 S 69.990535°
E118.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8280029296875 y=0.7760009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8280029296875 × 212)
    floor (0.8280029296875 × 4096)
    floor (3391.5)     		tx = 3391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7760009765625 × 212)
    floor (0.7760009765625 × 4096)
    floor (3178.5)     		ty = 3178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3391 / 3178 ti = "12/3391/3178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3391/3178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3391 ÷ 212
    3391 ÷ 4096     		x = 0.827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3178 ÷ 212
    3178 ÷ 4096     		y = 0.77587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827880859375 × 2 - 1) × π
    0.65576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06013620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77587890625 × 2 - 1) × π
    -0.5517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06013620} λ = 2.06013620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73339829026123))-π/2
    2×atan(0.176682968600988)-π/2
    2×0.174878157712927-π/2
    0.349756315425855-1.57079632675     		φ = -1.22104001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06013620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22104001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.960439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3391 KachelY 3178 2.06013620 -1.22104001 118.037109 -69.960439
    Oben rechts KachelX + 1 3392 KachelY 3178 2.06167018 -1.22104001 118.125000 -69.960439
    Unten links KachelX 3391 KachelY + 1 3179 2.06013620 -1.22156528 118.037109 -69.990535
    Unten rechts KachelX + 1 3392 KachelY + 1 3179 2.06167018 -1.22156528 118.125000 -69.990535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22104001--1.22156528) × R
    0.000525270000000022 × 6371000     		dl = 3346.49517000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22104001--1.22156528) × R
    0.000525270000000022 × 6371000     		dr = 3346.49517000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06013620-2.06167018) × cos(-1.22104001) × R
    0.00153398000000005 × 0.34266888792337 × 6371000     		do = 3348.89844305872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06013620-2.06167018) × cos(-1.22156528) × R
    0.00153398000000005 × 0.342175372492454 × 6371000     		du = 3344.07532337535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22104001)-sin(-1.22156528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34266888792337-0.342175372492454)×R²
    abs(2.06167018-2.06013620)×0.000493515430915692×R²
    0.00153398000000005×0.000493515430915692×6371000²
    0.00153398000000005×0.000493515430915692×40589641000000     		ar = 11199002.4486419m²