Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33906 / 34198
↖ ↑ ↗
← S  7.830732°
E  6.251221°		 ← 605.16 m → S  7.830732°
E  6.256714°		 →
↑
605.12 m
↓
↑
605.12 m
↓
S  7.836174°
E  6.251221°		 ← 605.15 m →
366 188 m²		 S  7.836174°
E  6.256714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517372131347656 y=0.521827697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517372131347656 × 216)
    floor (0.517372131347656 × 65536)
    floor (33906.5)     		tx = 33906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521827697753906 × 216)
    floor (0.521827697753906 × 65536)
    floor (34198.5)     		ty = 34198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33906 / 34198 ti = "16/33906/34198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33906/34198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33906 ÷ 216
    33906 ÷ 65536     		x = 0.517364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34198 ÷ 216
    34198 ÷ 65536     		y = 0.521820068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517364501953125 × 2 - 1) × π
    0.03472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10910438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.04364013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137099532913361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10910438} λ = 0.10910438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137099532913361))-π/2
    2×atan(0.871883440714213)-π/2
    2×0.717062140096997-π/2
    1.43412428019399-1.57079632675     		φ = -0.13667205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10910438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13667205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.830732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33906 KachelY 34198 0.10910438 -0.13667205 6.251221 -7.830732
    Oben rechts KachelX + 1 33907 KachelY 34198 0.10920026 -0.13667205 6.256714 -7.830732
    Unten links KachelX 33906 KachelY + 1 34199 0.10910438 -0.13676703 6.251221 -7.836174
    Unten rechts KachelX + 1 33907 KachelY + 1 34199 0.10920026 -0.13676703 6.256714 -7.836174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13667205--0.13676703) × R
    9.49800000000223e-05 × 6371000     		dl = 605.117580000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13667205--0.13676703) × R
    9.49800000000223e-05 × 6371000     		dr = 605.117580000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10910438-0.10920026) × cos(-0.13667205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990674904423417 × 6371000     		do = 605.155231565856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10910438-0.10920026) × cos(-0.13676703) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990661959218764 × 6371000     		du = 605.147323968435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13667205)-sin(-0.13676703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990674904423417-0.990661959218764)×R²
    abs(0.10920026-0.10910438)×1.29452046530032e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.29452046530032e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.29452046530032e-05×40589641000000     		ar = 366187.6770117m²