Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33905 / 34864
↖ ↑ ↗
← S 11.436955°
E  6.245728°		 ← 598.66 m → S 11.436955°
E  6.251221°		 →
↑
598.68 m
↓
↑
598.68 m
↓
S 11.442339°
E  6.245728°		 ← 598.65 m →
358 404 m²		 S 11.442339°
E  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517356872558594 y=0.531990051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517356872558594 × 216)
    floor (0.517356872558594 × 65536)
    floor (33905.5)     		tx = 33905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531990051269531 × 216)
    floor (0.531990051269531 × 65536)
    floor (34864.5)     		ty = 34864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33905 / 34864 ti = "16/33905/34864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33905/34864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33905 ÷ 216
    33905 ÷ 65536     		x = 0.517349243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34864 ÷ 216
    34864 ÷ 65536     		y = 0.531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517349243164062 × 2 - 1) × π
    0.034698486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10900851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531982421875 × 2 - 1) × π
    -0.06396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.200951483207275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10900851} λ = 0.10900851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200951483207275))-π/2
    2×atan(0.817952115004417)-π/2
    2×0.685591900937844-π/2
    1.37118380187569-1.57079632675     		φ = -0.19961252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10900851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.245728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19961252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.436955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33905 KachelY 34864 0.10900851 -0.19961252 6.245728 -11.436955
    Oben rechts KachelX + 1 33906 KachelY 34864 0.10910438 -0.19961252 6.251221 -11.436955
    Unten links KachelX 33905 KachelY + 1 34865 0.10900851 -0.19970649 6.245728 -11.442339
    Unten rechts KachelX + 1 33906 KachelY + 1 34865 0.10910438 -0.19970649 6.251221 -11.442339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19961252--0.19970649) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dl = 598.682869999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19961252--0.19970649) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dr = 598.682869999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10900851-0.10910438) × cos(-0.19961252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980143484657647 × 6371000     		do = 598.65965327406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10900851-0.10910438) × cos(-0.19970649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98012484706024 × 6371000     		du = 598.648269657502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19961252)-sin(-0.19970649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980143484657647-0.98012484706024)×R²
    abs(0.10910438-0.10900851)×1.86375974072783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86375974072783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86375974072783e-05×40589641000000     		ar = 358403.872050905m²