Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33905 / 34205
↖ ↑ ↗
← S  7.868823°
E  6.245728°		 ← 605.04 m → S  7.868823°
E  6.251221°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
S  7.874264°
E  6.245728°		 ← 605.03 m →
366 077 m²		 S  7.874264°
E  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517356872558594 y=0.521934509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517356872558594 × 216)
    floor (0.517356872558594 × 65536)
    floor (33905.5)     		tx = 33905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521934509277344 × 216)
    floor (0.521934509277344 × 65536)
    floor (34205.5)     		ty = 34205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33905 / 34205 ti = "16/33905/34205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33905/34205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33905 ÷ 216
    33905 ÷ 65536     		x = 0.517349243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34205 ÷ 216
    34205 ÷ 65536     		y = 0.521926879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517349243164062 × 2 - 1) × π
    0.034698486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10900851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521926879882812 × 2 - 1) × π
    -0.043853759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.137770649508041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10900851} λ = 0.10900851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137770649508041))-π/2
    2×atan(0.87129850157166)-π/2
    2×0.716729726134983-π/2
    1.43345945226997-1.57079632675     		φ = -0.13733687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10900851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.245728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13733687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.868823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33905 KachelY 34205 0.10900851 -0.13733687 6.245728 -7.868823
    Oben rechts KachelX + 1 33906 KachelY 34205 0.10910438 -0.13733687 6.251221 -7.868823
    Unten links KachelX 33905 KachelY + 1 34206 0.10900851 -0.13743184 6.245728 -7.874264
    Unten rechts KachelX + 1 33906 KachelY + 1 34206 0.10910438 -0.13743184 6.251221 -7.874264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13733687--0.13743184) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13733687--0.13743184) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10900851-0.10910438) × cos(-0.13733687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990584105795 × 6371000     		do = 605.036656975959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10900851-0.10910438) × cos(-0.13743184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.990571099407843 × 6371000     		du = 605.028712833752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13733687)-sin(-0.13743184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990584105795-0.990571099407843)×R²
    abs(0.10910438-0.10900851)×1.30063871567332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.30063871567332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.30063871567332e-05×40589641000000     		ar = 366077.367753233m²