Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33905 / 23882
↖ ↑ ↗
← N 43.794889°
E  6.245728°		 ← 440.88 m → N 43.794889°
E  6.251221°		 →
↑
440.94 m
↓
↑
440.94 m
↓
N 43.790924°
E  6.245728°		 ← 440.91 m →
194 407 m²		 N 43.790924°
E  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517356872558594 y=0.364418029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517356872558594 × 216)
    floor (0.517356872558594 × 65536)
    floor (33905.5)     		tx = 33905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364418029785156 × 216)
    floor (0.364418029785156 × 65536)
    floor (23882.5)     		ty = 23882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33905 / 23882 ti = "16/33905/23882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33905/23882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33905 ÷ 216
    33905 ÷ 65536     		x = 0.517349243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23882 ÷ 216
    23882 ÷ 65536     		y = 0.364410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517349243164062 × 2 - 1) × π
    0.034698486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10900851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364410400390625 × 2 - 1) × π
    0.27117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.851934580047638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10900851} λ = 0.10900851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851934580047638))-π/2
    2×atan(2.34417746705003)-π/2
    2×1.16758066831702-π/2
    2.33516133663405-1.57079632675     		φ = 0.76436501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10900851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.245728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76436501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.794889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33905 KachelY 23882 0.10900851 0.76436501 6.245728 43.794889
    Oben rechts KachelX + 1 33906 KachelY 23882 0.10910438 0.76436501 6.251221 43.794889
    Unten links KachelX 33905 KachelY + 1 23883 0.10900851 0.76429580 6.245728 43.790924
    Unten rechts KachelX + 1 33906 KachelY + 1 23883 0.10910438 0.76429580 6.251221 43.790924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76436501-0.76429580) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dl = 440.936910000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76436501-0.76429580) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dr = 440.936910000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10900851-0.10910438) × cos(0.76436501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721821966040657 × 6371000     		do = 440.880028974979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10900851-0.10910438) × cos(0.76429580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721869863084791 × 6371000     		du = 440.909283903755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76436501)-sin(0.76429580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721821966040657-0.721869863084791)×R²
    abs(0.10910438-0.10900851)×4.78970441339932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78970441339932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78970441339932e-05×40589641000000     		ar = 194406.727523654m²